Resolva a integral integral x sen x d x aplicando integração por partes.
Aplique a fórmula de integração por partes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x sen x , dx usando a técnica de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de métodos de integração. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula de integração por partes, que nos ajuda a integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. A escolha certa facilita a resolução.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = sen x , dx
Agora, vamos derivar u e integrar dv para encontrar du e v:
du = dx e v = -cos x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sen x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot dx
Simplificando:
= -x cos x + integral cos x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral restante integral cos x , dx:
integral cos x , dx = sen x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
integral x sen x , dx = -x cos x + sen x + C

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