Encontre a primitiva mais geral da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a primitiva mais geral da função . Isso faz parte do estudo de integrais em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável. Observando a função , percebemos que o denominador
pode ser uma boa candidata para substituição.
Vamos definir:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Calculando
:
Note que temos na nossa função original, então podemos rearranjar para expressar em termos de
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Sabemos que
é a definição da função secante:
Resposta
A primitiva mais geral de é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule
Dada
, encontre: os valores máximos e mínimos de
;
Calcule os seguintes limites: © (9 pontos)
Calcule os seguintes limites: (b) (9 pontos)