Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral0^pi / 2 sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Se ela convergir, temos que calcular o resultado. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e entender o que significa uma integral ser imprópria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral0^pi / 2 1cos^2 x , dx é igual a . Então, . Nossa integral fica:

Passo 3

Observamos que a função possui um comportamento especial quando se aproxima de . Sabemos que , então o denominador tende a zero, o que faz a função tender ao infinito. Isso caracteriza uma integral imprópria no limite superior.

Passo 4

Para resolver essa integral imprópria, usamos o conceito de limite. Vamos reescrever a integral como o limite quando limb to pi/2 integral0^b sec^2 x , dx se aproxima de :

Passo 5

Agora, encontramos a antiderivada de integral sec^2 x , dx = tan x + C . Sabemos que:
tan b - tan 0
onde tan b é a constante de integração. Então, avaliamos de 0 a :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite:
limb to pi/2 tan b
Sabemos que tende ao infinito, pois e estamos dividindo 1 por um número que se aproxima de zero.

Resposta

A integral imprópria diverge, ou seja, não tem um valor finito.

Exercícios relacionados