Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se ela convergir, temos que calcular o resultado. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e entender o que significa uma integral ser imprópria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é igual a
. Então,
. Nossa integral fica:
Passo 3
Observamos que a função
possui um comportamento especial quando
se aproxima de
. Sabemos que
, então o denominador tende a zero, o que faz a função
tender ao infinito. Isso caracteriza uma integral imprópria no limite superior.
Passo 4
Para resolver essa integral imprópria, usamos o conceito de limite. Vamos reescrever a integral como o limite quando
se aproxima de
:
Passo 5
Agora, encontramos a antiderivada de
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração. Então, avaliamos de 0 a
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite:
Sabemos que
tende ao infinito, pois
e estamos dividindo 1 por um número que se aproxima de zero.
Resposta
A integral imprópria
diverge, ou seja, não tem um valor finito.
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Calcule a integral.
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