Calcule
integral x^2 raiz1+x d x

Passo 1

Vamos resolver o integral integral x^2 raiz1+x , dx. Esse problema pertence à área de Cálculo, especificamente ao cálculo de integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz quadrada como uma potência fracionária para facilitar a manipulação:
raiz1+x = (1+x)^1/2
Assim, o integral fica:
integral x^2 (1+x)^1/2 , dx

Passo 3

Para resolver esse tipo de integral, uma boa estratégia é usar a substituição. Vamos definir uma nova variável u para simplificar a expressão. Vamos escolher:
u = 1 + x

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para substituir dx:
dudx = 1 Rightarrow du = dx

Passo 5

Também precisamos expressar x em termos de u. Da relação u = 1 + x, temos:
x = u - 1

Passo 6

Substituindo x e dx na integral original:
integral x^2 raiz1+x , dx = integral (u - 1)^2 cdot u^1/2 , du

Passo 7

Vamos expandir (u - 1)^2:
(u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1
Substituindo na integral:
integral (u^2 - 2u + 1) cdot u^1/2 , du

Passo 8

Multiplicando cada termo:
integral u^2 cdot u^1/2 - 2u cdot u^1/2 + 1 cdot u^1/2 , du = integral u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2 , du

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência para integração, que diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
desde que n neq -1.

Passo 10

Aplicando a regra de potência:
integral u^5/2 , du = u^7/27/2 = 27 u^7/2
integral -2u^3/2 , du = -2 cdot u^5/25/2 = - 45 u^5/2
integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23 u^3/2

Passo 11

Somando as integrais:
27 u^7/2 - 45 u^5/2 + 23 u^3/2 + C

Passo 12

Agora, vamos substituir u = 1 + x de volta:
27 (1 + x)^7/2 - 45 (1 + x)^5/2 + 23 (1 + x)^3/2 + C

Resposta

O valor do integral é:
27 (1 + x)^7/2 - 45 (1 + x)^5/2 + 23 (1 + x)^3/2 + C

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