integral sen^3 theta cos theta d theta

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral de sin^3 theta cos theta , dtheta. Isso está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que temos cos theta , dtheta, que é a derivada de sin theta. Então, vamos fazer a substituição:
u = sin theta

Passo 3

Agora, vamos encontrar du, a derivada de u em relação a theta:
du = cos theta , dtheta
Isso significa que cos theta , dtheta pode ser substituído por du na integral.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral sin^3 theta cos theta , dtheta = integral u^3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^3 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1, então:
integral u^3 , du = u^44 + C

Passo 6

Por último, voltamos à variável original substituindo u por sin theta:
sin^4 theta4 + C

Resposta

A integral de sin^3 theta cos theta , dtheta é sin^4 theta4 + C.

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