integral y^3 d y(1-2 y^4)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente em integrais que envolvem substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir por uma nova variável . Olhando para o denominador , uma boa escolha é deixar .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudy = -8y^3 em relação a y^3 , dy = -du8 para substituir . Derivando , temos:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral y^3 , dy(1 - 2y^4)^5 = integral -du8u^5 = -18 integral u^-5 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, integramos integral u^-5 , du = u^-4-4 + C = -14u^4 + C em relação a -18 (-14u^4) = 132u^4 + C :
Multiplicando pelo fator que está na frente, fica:

Passo 6

Por fim, substituímos u = 1 - 2y^4 Rightarrow u^4 = (1 - 2y^4)^4 de volta para a expressão original em termos de 132(1 - 2y^4)^4 + C :
Então, a resposta final é:

Resposta

integral y^3 , dy(1-2 y^4)^5 = 132(1 - 2y^4)^4 + C

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