integral sec ^2 3 raiztraizt d t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos a integral . Isso está ligado ao conteúdo de integrais, especificamente de funções compostas. Para resolver, vamos usar uma substituição que vai simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que temos , então uma boa opção é definir uma variável para substituir .

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = 3raizt
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = 32 t^-1/2 = 32raizt em relação a dt = 2raizt3 , du para substituir o diferencial :
Então,

Passo 4

Substituindo integral sec^2(3raizt)raizt , dt = integral sec^2(u)raizt cdot 2raizt3 , du e = 23 integral sec^2(u) , du na integral original:
Simplificando,

Passo 5

Agora, lembrando que a integral de 23 integral sec^2(u) , du = 23 tan(u) + C é (onde é a constante de integração), temos:

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original u = 3raizt substituindo 23 tan(u) + C = 23 tan(3raizt) + C de volta:
Então,

Resposta

A integral é igual a .

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