Resolva as equações via coeficientes indeterminados:

Passo 1

Beleza, então vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, a gente tem uma equação linear de segunda ordem onde o lado direito é formado por um polinômio e uma função exponencial . Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que é a soma da solução da equação homogênea (onde igualamos a zero) e uma solução particular que leva em conta o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo por , por e por 1:
Vamos resolver essa equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla . Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução homogênea fica assim:
Aqui, e são constantes que a gente determina com condições iniciais, mas como não temos essas condições, elas ficam como estão.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte polinomial . Para polinômios, a gente propõe uma solução da forma de um polinômio de mesmo grau. Então, vamos supor que a solução particular seja:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos determinar. Vamos derivar :
Substituindo , e na equação original:
Vamos simplificar a expressão:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para qualquer , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. \
  2. \
Resolvendo o primeiro:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, a solução particular para a parte polinomial é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte exponencial . Para funções exponenciais da forma , a gente propõe uma solução particular:
Aqui, é o coeficiente que vamos determinar. Porém, precisamos verificar se já está na solução homogênea. Vimos que na solução homogênea temos e , então nossa proposta inicial está incluída na solução homogênea, o que significa que precisamos multiplicar por para não repetir a solução homogênea. Então, a solução particular proposta fica:
Vamos derivar :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Os termos com se cancelam:
Oops, não conseguimos encontrar dessa forma. Isso acontece porque precisamos incluir um termo extra devido à raiz dupla na solução homogênea. Então, vamos tentar com .
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Os termos com e também se cancelam:
Agora, igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para a parte exponencial é:

Passo 5

Agora que temos as soluções particulares das duas partes do lado direito, vamos somá-las para obter a solução particular completa:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitárias.

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Esboce a regiào cuja área é dada pela integral e calcule-a: .
Calcule: