Resolva as equações via coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, então vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, a gente tem uma equação linear de segunda ordem onde o lado direito é formado por um polinômio
e uma função exponencial
. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que é a soma da solução da equação homogênea (onde igualamos a zero) e uma solução particular que leva em conta o lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1:
Vamos resolver essa equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla
. Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução homogênea fica assim:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, mas como não temos essas condições, elas ficam como estão.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte polinomial
. Para polinômios, a gente propõe uma solução da forma de um polinômio de mesmo grau. Então, vamos supor que a solução particular seja:
Aqui,
,
e
são coeficientes que precisamos determinar. Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Vamos simplificar a expressão:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para qualquer
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
-
\ -
\ -
Resolvendo o primeiro:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
e
na terceira equação:
Então, a solução particular para a parte polinomial é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte exponencial
. Para funções exponenciais da forma
, a gente propõe uma solução particular:
Aqui,
é o coeficiente que vamos determinar. Porém, precisamos verificar se
já está na solução homogênea. Vimos que na solução homogênea temos
e
, então nossa proposta inicial está incluída na solução homogênea, o que significa que precisamos multiplicar por
para não repetir a solução homogênea. Então, a solução particular proposta fica:
Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos com
se cancelam:
Oops, não conseguimos encontrar
dessa forma. Isso acontece porque precisamos incluir um termo extra devido à raiz dupla na solução homogênea. Então, vamos tentar com
.
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Os termos com
e
também se cancelam:
Agora, igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para a parte exponencial é:
Passo 5
Agora que temos as soluções particulares das duas partes do lado direito, vamos somá-las para obter a solução particular completa:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitárias.
Exercícios relacionados
Resolva as equações via redução de ordem:
Resolva as equações via coeficientes variáveis:
Esboce a regiào cuja área é dada pela integral e calcule-a:
.
Calcule: