Calcule a integral.
integral e^-x sen(3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Esse tipo de integral envolve funções exponenciais e trigonométricas, então vamos usar a técnica de integração por partes. Vou te guiar passo a passo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembro que a fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u = e^-x e dv = sin(3x) , dx e de forma que a integral fique mais fácil de resolver.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx e^-x , dx = -e^-x , dx e v = integral sin(3x) , dx = -13 cos(3x) :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^-x sin(3x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
= e^-x cdot ( -13 cos(3x) ) - integral ( -13 cos(3x) ) cdot ( -e^-x ) , dx
= -13 e^-x cos(3x) - 13 integral e^-x cos(3x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral u = e^-x e dv = cos(3x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, definimos:

Passo 6

Calculando du = -e^-x , dx e v = integral cos(3x) , dx = 13 sin(3x) :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^-x cos(3x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
= e^-x cdot 13 sin(3x) - integral 13 sin(3x) cdot (-e^-x) , dx
= 13 e^-x sin(3x) + 13 integral e^-x sin(3x) , dx

Passo 8

Vamos chamar a integral original de I = integral e^-x sin(3x) , dx :
integral e^-x cos(3x) , dx = 13 e^-x sin(3x) + 13 I
Substituindo na equação anterior:

Passo 9

Voltando à equação do Passo 4:
I = -13 e^-x cos(3x) - 13 ( 13 e^-x sin(3x) + 13 I )
I = -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sin(3x) - 19 I

Passo 10

Vamos isolar I + 19 I = -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sin(3x) :
109 I = -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sin(3x)

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por I = 910 ( -13 e^-x cos(3x) - 19 e^-x sin(3x) ) :
I = -310 e^-x cos(3x) - 110 e^-x sin(3x)

Resposta

integral e^-x sin(3x) , dx = -310 e^-x cos(3x) - 110 e^-x sin(3x) + C

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