Obtenha o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Isso é uma função racional, que basicamente é o quociente de dois polinômios. Para desenhar o gráfico dessa função, a gente vai precisar encontrar alguns pontos importantes, como assíntotas, interceptações com os eixos e outros detalhes que ajudam a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas aparecem onde o denominador é zero, porque aí a função não está definida. Então, igualamos o denominador a zero:
Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos ver as assíntotas horizontais. Como o grau do numerador e do denominador são iguais (ambos são de grau 1), a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes líderes:
Então, temos uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo Y. Isso acontece quando :
Então, a função corta o eixo Y no ponto .

Passo 5

Agora, vamos achar o ponto de interseção com o eixo X. Isso ocorre quando , ou seja, quando o numerador é zero:
Então, a função corta o eixo X no ponto .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico:
  • Temos uma assíntota vertical em .
  • Uma assíntota horizontal em .
  • O gráfico passa pelos pontos e .
  • Para os valores de maiores que 2, a função se aproxima da assíntota horizontal conforme aumenta.
  • Para os valores de menores que 2, a função também se aproxima da assíntota horizontal conforme diminui.

Resposta

O gráfico da função possui uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , corta o eixo Y no ponto e o eixo X no ponto . Com esses elementos, o gráfico se apresenta como duas hiperbolas que se aproximam das assíntotas conforme se afasta de 2, tanto para valores maiores quanto menores que 2.

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Calcule aproximadamente, via diferenciais, um valor aproximado para .
Derive as seguintes funções:
Calcule a integral.
Calcule a integral.