Calcule a integral.
integral x sen(5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É um método que nos ajuda a integrar produtos de funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão e .

Passo 3

No nosso caso, temos e . Isso porque derivar (para encontrar ) simplifica a expressão, e integrar também é direto.

Passo 4

Agora, vamos derivar du = dx e integrar v = integral sen(5x) , dx = -15 cos(5x) :
A integração de resulta em porque a derivada de é , então precisamos ajustar pelo fator .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot sen(5x) , dx = u cdot v - integral v , du
= x cdot (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar integral cos(5x) , dx = 15 sen(5x) :
Mais uma vez, ajustamos pelo fator porque a derivada de é .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

Então, a integral de é:

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