Seja
uma função ímpar e contínua em
. Mostre que
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: queremos provar que a integral de uma função ímpar
, que é contínua no intervalo
, é igual a zero. Para isso, vamos usar as propriedades das funções ímpares e entender como elas se comportam ao serem integradas em intervalos simétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função
é ímpar se, para todo
no domínio dela, vale que:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a integral que queremos calcular:
Podemos dividir essa integral em duas partes, de
a
e de
a
:
Passo 4
Vamos focar na primeira parte da integral, de
a
. Para facilitar, fazemos uma mudança de variável: vamos deixar
. Então, quando
,
, e quando
,
. Além disso,
. Substituindo na integral:
Passo 5
Como
é uma função ímpar, sabemos que
. Substituindo isso na integral:
Passo 6
Voltando à integral original, substituímos o resultado que obtivemos:
Resposta
A integral de uma função ímpar contínua no intervalo simétrico
é igual a zero.
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Calcule
Calcule
Nos itens abaixo, desenhe o conjunto
dado e calcule sua área:
é a região delimitada pelos gráficos de
e
.
Nos itens abaixo, desenhe o conjunto
dado e calcule sua área:
é a região delimitada pelos gráficos de
e
.