Seja uma função ímpar e contínua em . Mostre que

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: queremos provar que a integral de uma função ímpar , que é contínua no intervalo , é igual a zero. Para isso, vamos usar as propriedades das funções ímpares e entender como elas se comportam ao serem integradas em intervalos simétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função é ímpar se, para todo no domínio dela, vale que:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a integral que queremos calcular:
Podemos dividir essa integral em duas partes, de a e de a :

Passo 4

Vamos focar na primeira parte da integral, de a . Para facilitar, fazemos uma mudança de variável: vamos deixar . Então, quando , , e quando , . Além disso, . Substituindo na integral:

Passo 5

Como é uma função ímpar, sabemos que . Substituindo isso na integral:

Passo 6

Voltando à integral original, substituímos o resultado que obtivemos:

Resposta

A integral de uma função ímpar contínua no intervalo simétrico é igual a zero.

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