Seja f uma função ímpar e contínua em [-r, r], r>0. Mostre que
integral-r^r f(x) d x=0

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: queremos provar que a integral de uma função ímpar , que é contínua no intervalo , é igual a zero. Para isso, vamos usar as propriedades das funções ímpares e entender como elas se comportam ao serem integradas em intervalos simétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função ímpar. Uma função f(-x) = -f(x) é ímpar se, para todo no domínio dela, vale que:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a integral que queremos calcular:
integral-r^r f(x) dx
Podemos dividir essa integral em duas partes, de integral-r^r f(x) dx = integral-r^0 f(x) dx + integral0^r f(x) dx a e de a :

Passo 4

Vamos focar na primeira parte da integral, de integral-r^0 f(x) dx = integralr^0 f(-t) (-dt) = integral0^r f(-t) dt a . Para facilitar, fazemos uma mudança de variável: vamos deixar . Então, quando , , e quando , . Além disso, . Substituindo na integral:

Passo 5

Como integral0^r f(-t) dt = integral0^r -f(t) dt = -integral0^r f(t) dt é uma função ímpar, sabemos que . Substituindo isso na integral:

Passo 6

Voltando à integral original, substituímos o resultado que obtivemos:
integral-r^r f(x) dx = ( -integral0^r f(t) dt ) + integral0^r f(t) dt = 0

Resposta

A integral de uma função ímpar contínua no intervalo simétrico é igual a zero.

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