Calcule
integral x-3(x-1)^2(x+2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral
integral x-3(x-1)^2(x+2)^2 , dx
Isso está ligado ao cálculo de integrais de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas quebrando-as em partes menores e mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Quando temos uma fração racional, como a que estamos lidando, podemos expressá-la como a soma de frações mais simples. Isso facilita a integração.
No nosso caso, o denominador (x-1)^2(x+2)^2 tem fatores que se repetem, então a decomposição será assim:
x-3(x-1)^2(x+2)^2 = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+2 + D(x+2)^2
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (x-1)^2(x+2)^2 para eliminar os denominadores:
x - 3 = A(x-1)(x+2)^2 + B(x+2)^2 + C(x-1)^2(x+2) + D(x-1)^2
Nossa missão é encontrar os valores de A, B, C e D que tornam essa igualdade verdadeira para todos os valores de x.

Passo 4

Para encontrar A, B, C e D, podemos escolher valores específicos de x que simplifiquem a equação. Vamos escolher valores que zerem alguns termos:
  1. x = 1:
    1 - 3 = A(0)(3)^2 + B(3)^2 + C(0)(3) + D(0) -2 = 9B B = -29
  2. x = -2:
    -2 - 3 = A(-3)(0)^2 + B(0)^2 + C(-3)^2(0) + D(-3)^2 -5 = 9D D = -59

Passo 5

Agora, para encontrar A e C, podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes dos termos correspondentes. Primeiro, expandamos a equação:
x - 3 = A(x-1)(x+2)^2 + B(x+2)^2 + C(x-1)^2(x+2) + D(x-1)^2
Vamos expandir cada termo:
  1. A(x-1)(x+2)^2 = A(x-1)(x^2 + 4x + 4) = A(x^3 + 3x^2 + 0x -4)
  2. B(x+2)^2 = B(x^2 + 4x + 4)
  3. C(x-1)^2(x+2) = C(x^2 - 2x +1)(x+2) = C(x^3 + 0x^2 - x +2)
  4. D(x-1)^2 = D(x^2 - 2x +1)
Somando tudo:
x - 3 = (A + C)x^3 + (3A + B)x^2 + (-A - C + D)x + (-4A + 4B + 2C + D)
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x:
  • : A + C = 0
  • : 3A + B = 0
  • x: -A - C + D = 1
  • constante: -4A + 4B + 2C + D = -3
Já sabemos que B = -2/9 e D = -5/9. Vamos usar essas informações para encontrar A e C.

Passo 6

Usando A + C = 0, temos C = -A.
Usando 3A + B = 0 e B = -2/9:
3A - 29 = 0 3A = 29 A = 227
Então, C = -227.

Passo 7

Agora que temos todos os valores:
  • A = 2/27
  • B = -2/9
  • C = -2/27
  • D = -5/9
Nossa decomposição fica:
x-3(x-1)^2(x+2)^2 = 227x-1 + -29(x-1)^2 + -227x+2 + -59(x+2)^2
Podemos simplificar:
x-3(x-1)^2(x+2)^2 = 227cdot1x-1 - 29cdot1(x-1)^2 - 227cdot1x+2 - 59cdot1(x+2)^2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que:
  • integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C
  • integral 1(x - a)^2 , dx = -1x - a + C
Aplicando isso:
  1. integral 227cdot1x-1 , dx = 227 ln|x - 1|
  2. integral -29cdot1(x-1)^2 , dx = -29 ( -1x - 1 ) = 29 cdot 1x - 1
  3. integral -227cdot1x+2 , dx = -227 ln|x + 2|
  4. integral -59cdot1(x+2)^2 , dx = -59 ( -1x + 2 ) = 59 cdot 1x + 2

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x-3(x-1)^2(x+2)^2 , dx = 227 ln|x - 1| + 29 cdot 1x - 1 - 227 ln|x + 2| + 59 cdot 1x + 2 + C
Onde C é a constante de integração.

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