Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral
Isso está ligado ao cálculo de integrais de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas quebrando-as em partes menores e mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Quando temos uma fração racional, como a que estamos lidando, podemos expressá-la como a soma de frações mais simples. Isso facilita a integração.
No nosso caso, o denominador tem fatores que se repetem, então a decomposição será assim:
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Nossa missão é encontrar os valores de A, B, C e D que tornam essa igualdade verdadeira para todos os valores de x.

Passo 4

Para encontrar A, B, C e D, podemos escolher valores específicos de x que simplifiquem a equação. Vamos escolher valores que zerem alguns termos:
  1. x = 1:
  2. x = -2:

Passo 5

Agora, para encontrar A e C, podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes dos termos correspondentes. Primeiro, expandamos a equação:
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x:
  • :
  • :
  • x:
  • constante:
Já sabemos que B = -2/9 e D = -5/9. Vamos usar essas informações para encontrar A e C.

Passo 6

Usando , temos .
Usando e B = -2/9:
Então, .

Passo 7

Agora que temos todos os valores:
  • A = 2/27
  • B = -2/9
  • C = -2/27
  • D = -5/9
Nossa decomposição fica:
Podemos simplificar:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que:
Aplicando isso:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Suponha que seja uma função diferenciável que satisfaça
Encontre e .
Dica: .
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(b)
Sejam e funções que satisfazem . Se
calcule .
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
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