Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries com uma razão constante entre os termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para identificar se ela é uma série geométrica.
Temos:
Podemos reescrever isso separando os expoentes:
Simplificando mais:
Passo 3
Agora, observamos que a série pode ser escrita na forma de uma série geométrica:
Aqui, o termo constante é
e a razão
é
.
Passo 4
Para uma série geométrica
, a série converge se o valor absoluto da razão
. Caso contrário, ela diverge.
No nosso caso:
Como
, a condição para convergência não é satisfeita.
Resposta
A série diverge, ou seja, ela não converge.
Exercícios relacionados
Seja
uma superfície representada na forma explícita por
. Usando
e
como parâmetro, mostre que a área de
pode ser expressa por
onde
é a projeção de
sobre o plano
.
Obs: mesmo vale se
ou
. Se convença deste fato
Obs:
Decida se cada uma das seguintes séries infinitas converge ou diverge. Justifique suas afirmações.
(j)
(j)
Suponha que
seja uma função diferenciável que satisfaça
Encontre
e
.
Dica: .
Dica:
Calcule