Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(b) sumn=1^infty (-6)^3-n8^2-n

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries com uma razão constante entre os termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para identificar se ela é uma série geométrica.
Temos:
(-6)^3-n8^2-n
Podemos reescrever isso separando os expoentes:
(-6)^3 cdot (-6)^-n8^2 cdot 8^-n = (-216) cdot (-6)^-n64 cdot 8^-n
Simplificando mais:
-21664 cdot (8-6)^n = -21664 cdot (-43)^n

Passo 3

Agora, observamos que a série pode ser escrita na forma de uma série geométrica:
sumn=1^infty -21664 cdot (-43)^n
Aqui, o termo constante é e a razão é .

Passo 4

Para uma série geométrica r = -43 e |r| = 43 , a série converge se o valor absoluto da razão . Caso contrário, ela diverge.
No nosso caso:
Como , a condição para convergência não é satisfeita.

Resposta

A série diverge, ou seja, ela não converge.

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