Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
© sumn=0^infty n+1(2 n+1)!(x-2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
sumn=0^infty n+1(2n+1)!(x-2)^n
Aqui, estamos lidando com séries de potências, uma parte da matemática que estuda somas infinitas envolvendo potências de uma variável. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = n+1(2n+1)!(x-2)^n
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (n+2)(2(n+1)+1)!(x-2)^n+1 times (2n+1)!(n+1)(x-2)^-n :
an+1an = n+2n+1 times 1(2n+3)(2n+2) times (x-2)
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | n+2n+1 times 1(2n+3)(2n+2) times (x-2) | tende ao infinito:
L = |x-2| times 0 = 0
Observando cada parte:
  • tende para 1.
  • cresce como , então tende para 0.
  • é uma constante em relação a .
Portanto:

Passo 5

Como e , segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é (todos os números reais) e o raio de convergência é .

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