Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, uma parte da matemática que estuda somas infinitas envolvendo potências de uma variável. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Observando cada parte:
  • tende para 1.
  • cresce como , então tende para 0.
  • é uma constante em relação a .
Portanto:

Passo 5

Como e , segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é (todos os números reais) e o raio de convergência é .

Exercícios relacionados

Sejam e funções que satisfazem . Se
calcule .
Calcule
Suponha que uma espécie de peixe em um lago seja modelada por um modelo logístico de população com uma taxa de crescimento relativa de por ano e uma capacidade de carga de . A equação diferencial que descreve o modelo logístico de população para este problema é dada por
em que é a população depois de anos. Se 2500 peixes são inicialmente introduzidos no lago, encontre a taxa na qual a população está mudando. Use-a para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Dica: Use a equação da reta tangente no ponto para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
(b)