Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, uma parte da matemática que estuda somas infinitas envolvendo potências de uma variável. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular an+1an = (n+2)(2(n+1)+1)!(x-2)^n+1 times (2n+1)!(n+1)(x-2)^-n :
an+1an = n+2n+1 times 1(2n+3)(2n+2) times (x-2)
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | n+2n+1 times 1(2n+3)(2n+2) times (x-2) | tende ao infinito:
L = |x-2| times 0 = 0
Observando cada parte:
tende para 1.
cresce como , então tende para 0.
é uma constante em relação a .
Portanto:
Passo 5
Como e , segundo o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Resposta
O intervalo de convergência é (todos os números reais) e o raio de convergência é .