Suponha que
seja uma função diferenciável que satisfaça
Encontre
e
.
Dica:
.
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar
e a derivada
de uma função diferenciável
que satisfaz a relação:
Primeiro, identificamos que vamos trabalhar com funções diferenciáveis e usar técnicas de substituição e derivação para encontrar os valores desejados. Também vamos precisar utilizar a dica que foi dada:
Isso sugere que em algum ponto específico, provavelmente em
, teremos
.
Passo 2
Vamos começar encontrando
. Para isso, substituímos
na equação original:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Percebemos que isso é uma equação quadrática na forma
, onde
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Isso implica que:
Portanto, descobrimos que:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada
. Para isso, vamos derivar a equação original em relação a
:
Derivando ambos os lados:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia à derivada de
e a regra do produto à derivada de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação derivada:
Simplificando:
Já sabemos que
, então:
Ou seja:
Passo 8
Vamos isolar
:
Resposta
Portanto, os valores solicitados são:
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(b)
(b)
Seja
uma superfície representada na forma explícita por
. Usando
e
como parâmetro, mostre que a área de
pode ser expressa por
onde
é a projeção de
sobre o plano
.
Obs: mesmo vale se
ou
. Se convença deste fato
Obs:
Calcule
Sejam
e
funções que satisfazem
. Se
calcule
.