Suponha que seja uma função diferenciável que satisfaça
Encontre e .
Dica: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar e a derivada de uma função diferenciável que satisfaz a relação:
Primeiro, identificamos que vamos trabalhar com funções diferenciáveis e usar técnicas de substituição e derivação para encontrar os valores desejados. Também vamos precisar utilizar a dica que foi dada:
Isso sugere que em algum ponto específico, provavelmente em , teremos .

Passo 2

Vamos começar encontrando . Para isso, substituímos na equação original:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Percebemos que isso é uma equação quadrática na forma , onde .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Isso implica que:
Portanto, descobrimos que:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada . Para isso, vamos derivar a equação original em relação a :
Derivando ambos os lados:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia à derivada de e a regra do produto à derivada de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos na equação derivada:
Simplificando:
Já sabemos que , então:
Ou seja:

Passo 8

Vamos isolar :

Resposta

Portanto, os valores solicitados são:

Exercícios relacionados

Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(b)
Seja uma superfície representada na forma explícita por . Usando e como parâmetro, mostre que a área de pode ser expressa por
onde é a projeção de sobre o plano .
Obs: mesmo vale se ou . Se convença deste fato
Calcule
Sejam e funções que satisfazem . Se
calcule .