Suponha que f seja uma função diferenciável que satisfaça
2 f(x^2) = f(2x - 1) f(x) + x^2
Encontre f(1) e f'(1).
Dica: 2y = y^2 + 1 => (y - 1)^2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar e a derivada de uma função diferenciável que satisfaz a relação:
Primeiro, identificamos que vamos trabalhar com funções diferenciáveis e usar técnicas de substituição e derivação para encontrar os valores desejados. Também vamos precisar utilizar a dica que foi dada:
Isso sugere que em algum ponto específico, provavelmente em , teremos .

Passo 2

Vamos começar encontrando . Para isso, substituímos na equação original:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Percebemos que isso é uma equação quadrática na forma , onde .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Isso implica que:
Portanto, descobrimos que:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada . Para isso, vamos derivar a equação original em relação a :
Derivando ambos os lados:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia à derivada de e a regra do produto à derivada de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos na equação derivada:
Simplificando:
Já sabemos que , então:
Ou seja:

Passo 8

Vamos isolar :

Resposta

Portanto, os valores solicitados são:

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