Sejam e funções que satisfazem . Se
calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem duas funções, e , com alguns valores definidos em . A função que a gente quer trabalhar é . O objetivo aqui é encontrar a derivada de quando , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar a regra da derivada para funções logarítmicas e a regra da derivada de uma divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é , onde é uma função de . No nosso caso, . Então, a derivada de vai ser .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de . Para derivar uma divisão, usamos a regra do quociente: se , então .

Passo 4

Vamos montar a expressão da derivada de :
Simplificando essa expressão, multiplicamos pela fração invertida:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos em :
Substituindo na expressão:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule
Suponha que seja uma função diferenciável que satisfaça
Encontre e .
Dica: .
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
©
Suponha que uma espécie de peixe em um lago seja modelada por um modelo logístico de população com uma taxa de crescimento relativa de por ano e uma capacidade de carga de . A equação diferencial que descreve o modelo logístico de população para este problema é dada por
em que é a população depois de anos. Se 2500 peixes são inicialmente introduzidos no lago, encontre a taxa na qual a população está mudando. Use-a para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Dica: Use a equação da reta tangente no ponto para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.