Sejam f e g funções que satisfazem f(3)=4, f'(3)=-12, g(3)=1, g'(3)=5. Se
h(x) = ln(g(x)/f(x))
calcule h'(3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem duas funções, e , com alguns valores definidos em . A função que a gente quer trabalhar é . O objetivo aqui é encontrar a derivada de quando , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar a regra da derivada para funções logarítmicas e a regra da derivada de uma divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é , onde é uma função de . No nosso caso, . Então, a derivada de vai ser .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de . Para derivar uma divisão, usamos a regra do quociente: se , então .

Passo 4

Vamos montar a expressão da derivada de :
Simplificando essa expressão, multiplicamos pela fração invertida:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos em :
Substituindo na expressão:

Resposta

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