Sejam
e
funções que satisfazem
. Se
calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem duas funções,
e
, com alguns valores definidos em
. A função que a gente quer trabalhar é
. O objetivo aqui é encontrar a derivada de
quando
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar a regra da derivada para funções logarítmicas e a regra da derivada de uma divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é
, onde
é uma função de
. No nosso caso,
. Então, a derivada de
vai ser
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
. Para derivar uma divisão, usamos a regra do quociente: se
, então
.
Passo 4
Vamos montar a expressão da derivada de
:
Simplificando essa expressão, multiplicamos pela fração invertida:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos em
:
Substituindo na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
Suponha que
seja uma função diferenciável que satisfaça
Encontre
e
.
Dica: .
Dica:
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
©
©
Suponha que uma espécie de peixe em um lago seja modelada por um modelo logístico de população com uma taxa de crescimento relativa de
por ano e uma capacidade de carga de
. A equação diferencial que descreve o modelo logístico de população para este problema é dada por
em que
é a população depois de
anos. Se 2500 peixes são inicialmente introduzidos no lago, encontre a taxa na qual a população está mudando. Use-a para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Dica: Use a equação da reta tangente no ponto para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Dica: Use a equação da reta tangente no ponto