Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. A gente vai trabalhar com integrais impróprias, que são aquelas que têm comportamentos estranhos, tipo infinito, em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, a gente vai usar limites e algumas regras de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Olha só, quando x se aproxima de 0, o denominador
também se aproxima de 0, o que faz a fração
crescer sem limite, ou seja, tende ao infinito. Então, temos que lidar com esse comportamento estranho perto de x = 0.
Passo 3
Para calcular essa integral, a gente vai transformar a integral imprópria em um limite. Em vez de começar exatamente em 0, a gente começa em um número positivo bem pequeno, “a”, e então faz “a” se aproximar de 0. A integral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, a gente pode reescrever
como
. A regra de integração para potências de x diz que:
Aqui, nosso n é
, então aplicando a regra:
Passo 5
Agora, vamos usar essa antiderivada para calcular a integral definida de “a” até 8:
Sabemos que
, então
. Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o limite quando “a” se aproxima de 0:
Portanto, a integral converge e o valor dela é 6.
Resposta
A integral
converge e seu valor é 6.
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Calcule.
Calcule.