Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral0^8 1x^1 / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral imprópria integral0^8 1x^1 / 3 , dx converge ou diverge. A gente vai trabalhar com integrais impróprias, que são aquelas que têm comportamentos estranhos, tipo infinito, em algum ponto do intervalo. Para resolver isso, a gente vai usar limites e algumas regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Olha só, quando x se aproxima de 0, o denominador x^1/3 também se aproxima de 0, o que faz a fração 1x^1/3 crescer sem limite, ou seja, tende ao infinito. Então, temos que lidar com esse comportamento estranho perto de x = 0.

Passo 3

Para calcular essa integral, a gente vai transformar a integral imprópria em um limite. Em vez de começar exatamente em 0, a gente começa em um número positivo bem pequeno, “a”, e então faz “a” se aproximar de 0. A integral fica assim:
integral0^8 1x^1 / 3 , dx = lima to 0^+ integrala^8 1x^1 / 3 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral 1x^1/3 , dx. Para isso, a gente pode reescrever 1x^1/3 como x^-1/3. A regra de integração para potências de x diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Aqui, nosso n é -1/3, então aplicando a regra:
integral x^-1/3 , dx = x^(-1/3)+1(-1/3)+1 + C = x^2/32/3 + C = 32 x^2/3 + C

Passo 5

Agora, vamos usar essa antiderivada para calcular a integral definida de “a” até 8:
integrala^8 1x^1 / 3 , dx = [ 32 x^2/3 ]a^8 = 32 (8)^2/3 - 32 (a)^2/3
Sabemos que 8^1/3 = 2, então 8^2/3 = (8^1/3)^2 = 4. Substituindo:
= 32 times 4 - 32 a^2/3 = 6 - 32 a^2/3

Passo 6

Agora, vamos aplicar o limite quando “a” se aproxima de 0:
lima to 0^+ (6 - 32 a^2/3) = 6 - 32 times 0 = 6
Portanto, a integral converge e o valor dela é 6.

Resposta

A integral integral0^8 1x^1 / 3 , dx converge e seu valor é 6.

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