Use as substituições trigonométricas para calcular: integral raizx^2-4x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado a integrais envolvendo funções trigonométricas e, para resolvê-lo, vamos usar substituições trigonométricas. Isso significa que vamos transformar a expressão original usando identidades trigonométricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão . Essa forma sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica do tipo , porque , o que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Vamos definir dx = 2sec(theta)tan(theta) , dtheta . Assim, temos:
raiz(2sec(theta))^2 - 4 = raiz4sec^2(theta) - 4 = raiz4(sec^2(theta) - 1) = raiz4tan^2(theta) = 2tan(theta)
E fica:

Passo 4

Substituindo integral raizx^2-4x^4 , dx = integral 2tan(theta)(2sec(theta))^4 cdot 2sec(theta)tan(theta) , dtheta e = integral 2tan(theta) cdot 2sec(theta)tan(theta)16sec^4(theta) , dtheta = integral 4tan^2(theta)sec(theta)16sec^4(theta) , dtheta = integral tan^2(theta)4sec^3(theta) , dtheta na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Lembrando que integral sec^2(theta) - 14sec^3(theta) , dtheta = 14 integral ( sec^2(theta)sec^3(theta) - 1sec^3(theta) ) , dtheta = 14 integral ( sec^-1(theta) - cos^3(theta) ) , dtheta , substituímos na integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
14 ( integral sec^-1(theta) , dtheta - integral cos^3(theta) , dtheta )
Sabemos que = 14 ( integral cos(theta) , dtheta - integral cos^3(theta) , dtheta ) , então:
= 14 ( sin(theta) - ( cos^2(theta)sin(theta)3 + 23sin(theta) ) ) + C
Integrando:
= 14 ( sin(theta) - cos^2(theta)sin(theta)3 - 23sin(theta) ) + C = 14 ( sin(theta)3 - cos^2(theta)sin(theta)3 ) + C
Simplificando:

Passo 7

Voltando para sin(theta) = raizx^2 - 4x , lembramos que cos(theta) = 2x , então = 14 ( raizx^2 - 43x - 43x^3 cdot raizx^2 - 4x ) + C = raizx^2 - 412x - raizx^2 - 43x^3 + C . Usando relações trigonométricas, temos:
Substituindo na expressão integrada:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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