Considere a função
.
Confirme a resposta obtida anteriormente com o teste da derivada segunda (se
é mínimo local; se
é máximo local)
Confirme a resposta obtida anteriormente com o teste da derivada segunda (se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que precisamos fazer aqui é confirmar se os pontos que a gente achou antes são realmente máximos ou mínimos locais usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
, que nos ajuda a achar os pontos críticos (onde a inclinação da curva é zero).
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
para usar no teste da segunda derivada, que nos ajuda a determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso significa que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, isso significa que
é um ponto de mínimo local.
Resposta
Usando o teste da segunda derivada, concluímos que
é um máximo local e
é um mínimo local para a função
.