Considere a função f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 5.
Confirme a resposta obtida anteriormente com o teste da derivada segunda (se f''(x0) > 0, x0 é mínimo local; se f''(x0) < 0, x0 é máximo local)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que precisamos fazer aqui é confirmar se os pontos que a gente achou antes são realmente máximos ou mínimos locais usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada , que nos ajuda a achar os pontos críticos (onde a inclinação da curva é zero).

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos resolvendo :
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
Agora, resolvemos essa equação quadrática. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada para usar no teste da segunda derivada, que nos ajuda a determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , isso significa que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , isso significa que é um ponto de mínimo local.

Resposta

Usando o teste da segunda derivada, concluímos que é um máximo local e é um mínimo local para a função .

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