Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e limites.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função possui pontos de descontinuidade no denominador, ou seja, quando . Resolvendo, temos . No intervalo de integração , o ponto está dentro do domínio, tornando a integral imprópria.

Passo 3

Para resolver a integral imprópria, vamos dividir o intervalo em duas partes, evitando o ponto de descontinuidade:

Passo 4

Vamos calcular a primitiva da função . Sabemos que:

Passo 5

Aplicando os limites:
Primeiro, para :
À medida que , o denominador , fazendo com que a expressão dentro do logaritmo tende ao infinito, assim o primeiro limite tende a .

Passo 6

Como o primeiro limite já tende a , a integral diverge.

Resposta

A integral imprópria diverge.

Exercícios relacionados

Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Calcule.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.