Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral0^2 11-x^2 d x

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos verificar se a integral imprópria integral0^2 11 - x^2 , dx converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e limites.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função 11 - x^2 possui pontos de descontinuidade no denominador, ou seja, quando 1 - x^2 = 0. Resolvendo, temos x = pm1. No intervalo de integração [0, 2], o ponto x=1 está dentro do domínio, tornando a integral imprópria.

Passo 3

Para resolver a integral imprópria, vamos dividir o intervalo em duas partes, evitando o ponto de descontinuidade:
integral0^2 11 - x^2 , dx = lima to 1^- integral0^a 11 - x^2 , dx + limb to 1^+ integralb^2 11 - x^2 , dx

Passo 4

Vamos calcular a primitiva da função 11 - x^2. Sabemos que:
integral 11 - x^2 , dx = 12 ln|1 + x1 - x| + C

Passo 5

Aplicando os limites:
Primeiro, para x to 1^-:
lima to 1^- [ 12 ln|1 + a1 - a| - 12 ln|1 + 01 - 0| ] = lima to 1^- 12 ln(1 + a1 - a) - 0
À medida que a to 1^-, o denominador 1 - a to 0^+, fazendo com que a expressão dentro do logaritmo tende ao infinito, assim o primeiro limite tende a +infty.

Passo 6

Como o primeiro limite já tende a +infty, a integral diverge.

Resposta

A integral imprópria integral0^2 11 - x^2 , dx diverge.

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