Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e limites.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função possui pontos de descontinuidade no denominador, ou seja, quando . Resolvendo, temos . No intervalo de integração , o ponto está dentro do domínio, tornando a integral imprópria.
Passo 3
Para resolver a integral imprópria, vamos dividir o intervalo em duas partes, evitando o ponto de descontinuidade:
Passo 4
Vamos calcular a primitiva da função . Sabemos que:
Passo 5
Aplicando os limites:
Primeiro, para x to 1^-:
lima to 1^- [ 12 ln|1 + a1 - a| - 12 ln|1 + 01 - 0| ] = lima to 1^- 12 ln(1 + a1 - a) - 0
À medida que a to 1^-, o denominador 1 - a to 0^+, fazendo com que a expressão dentro do logaritmo tende ao infinito, assim o primeiro limite tende a +infty.
Passo 6
Como o primeiro limite já tende a +infty, a integral diverge.
Resposta
A integral imprópria integral0^2 11 - x^2 , dxdiverge.