Calcule integral0^pi3 tan ^2 x sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 a . Isso entra no assunto de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil: . Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral0^pi3 tan^2x sec x , dx = integral0^pi3 (sec^2x - 1) sec x , dx
Agora, vamos distribuir o dentro dos parênteses.

Passo 4

Distribuindo integral0^pi3 (sec^3x - sec x) , dx :
Agora nossa integral está dividida em duas partes: e .

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando por integral sec x , dx = ln|sec x + tan x| + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver u = sec x Rightarrow du = sec x tan x , dx . Essa integral é um pouco mais complicada, mas podemos usar a técnica de integração por partes, onde:
dv = sec^2x , dx Rightarrow v = tan x
integral sec^3x , dx = sec x tan x - integral sec x tan^2x , dx
Aplicando a integração por partes:
integral sec^3x , dx = sec x tan x - integral sec^3x , dx + integral sec x , dx
Mas sabemos que 2 integral sec^3x , dx = sec x tan x + ln|sec x + tan x| + C , então:
integral sec^3x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln|sec x + tan x| + C
Resolvendo para :
Portanto:

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
integral0^pi3 (sec^3x - sec x) , dx = [ 12 sec x tan x + 12 ln|sec x + tan x| ]0^pi3 - [ ln|sec x + tan x| ]0^pi3

Passo 8

Agora, vamos avaliar cada termo nos limites de integração de 0 a sec(pi3) = 2, tan(pi3) = raiz3 .
Para sec(0) = 1, tan(0) = 0 :
Para :

Passo 9

Substituindo os valores:
[ 12 times 2 times raiz3 + 12 ln|2 + raiz3| ] - [ 12 times 1 times 0 + 12 ln|1 + 0| ] - [ ln|2 + raiz3| - ln|1 + 0| ]
Simplificando:
[ raiz3 + 12 ln(2 + raiz3) ] - [ 0 + 12 ln(1) ] - [ ln(2 + raiz3) - ln(1) ]
Como raiz3 + 12 ln(2 + raiz3) - ln(2 + raiz3) :
= raiz3 - 12 ln(2 + raiz3)

Resposta

raiz3 - 12 ln(2 + raiz3)

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