Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
de 0 a
. Isso entra no assunto de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição na integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
. Isso vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, vamos distribuir o
dentro dos parênteses.
Passo 4
Distribuindo
:
Agora nossa integral está dividida em duas partes:
e
.
Passo 5
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando por
. Sabemos que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver
. Essa integral é um pouco mais complicada, mas podemos usar a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Mas sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Portanto:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Passo 8
Agora, vamos avaliar cada termo nos limites de integração de 0 a
.
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo os valores:
Simplificando:
Como
:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
Calcule
se:
;
Seja
a superficie paramétrica dada por
.
Calcular o fluxo através de , do campo vetoria
, na direção do vetor
.
Calcular o fluxo através de
Calcule