Seja S a superficie paramétrica dada por r(u, v)=(u, v, raizu^2+v^2), com u^2+v^2 <= 36.
Calcular o fluxo através de S, do campo vetoria f=(x, y,-z), na direção do vetor partial rpartial u times partial rpartial v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial f = (x, y, -z) através da superfície paramétrica S dada por r(u, v) = (u, v, raizu^2+v^2), com a condição u^2+v^2 <= 36. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície usando parâmetro e o produto vetorial das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, o fluxo é dado pela integral de superfície:
integral duplaS f cdot n , dS
onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

A superfície S é parametrizada por r(u, v) = (u, v, raizu^2+v^2). Para encontrar o vetor normal, calculamos as derivadas parciais de r em relação a u e v:
partial rpartial u = (1, 0, uraizu^2+v^2)
partial rpartial v = (0, 1, vraizu^2+v^2)

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto vetorial dessas derivadas para obter um vetor normal à superfície:
partial rpartial u times partial rpartial v = i & j & k 1 & 0 & uraizu^2+v^2 0 & 1 & vraizu^2+v^2 = (-uraizu^2+v^2, -vraizu^2+v^2, 1)

Passo 5

Agora, precisamos computar o produto escalar entre o campo vetorial f e o vetor normal que encontramos:
f cdot (partial rpartial u times partial rpartial v) = (u, v, -raizu^2+v^2) cdot (-uraizu^2+v^2, -vraizu^2+v^2, 1)
Calculando isso:
- u^2raizu^2+v^2 - v^2raizu^2+v^2 - raizu^2+v^2 = -u^2 + v^2raizu^2+v^2 - raizu^2+v^2 = -2raizu^2+v^2

Passo 6

Agora, montamos a integral de superfície:
integral duplaS f cdot n , dS = integral duplaD -2raizu^2+v^2 , du , dv
onde D é o domínio u^2+v^2 <= 36. Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 7

Em coordenadas polares, onde u = rcostheta e v = rsintheta, a expressão raizu^2+v^2 vira r, e o elemento de área du , dv vira r , dr , dtheta. Assim, a integral fica:
-2 integral0^2pi integral0^6 r cdot r , dr , dtheta = -2 integral0^2pi integral0^6 r^2 , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^6 r^2 , dr = r^33|0^6 = 2163 = 72
Agora, a integral externa:
-2 integral0^2pi 72 , dtheta = -144 integral0^2pi , dtheta = -144 cdot 2pi = -288pi

Resposta

O fluxo através de S do campo vetorial f é -288pi.

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