Seja a superficie paramétrica dada por .
Calcular o fluxo através de , do campo vetoria , na direção do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície paramétrica dada por , com a condição . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície usando parâmetro e o produto vetorial das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto desse campo “passa” pela superfície. Matematicamente, o fluxo é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
A superfície é parametrizada por . Para encontrar o vetor normal, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto vetorial dessas derivadas para obter um vetor normal à superfície:
Passo 5
Agora, precisamos computar o produto escalar entre o campo vetorial f e o vetor normal que encontramos:
f cdot (partial rpartial u times partial rpartial v) = (u, v, -raizu^2+v^2) cdot (-uraizu^2+v^2, -vraizu^2+v^2, 1)
integral duplaS f cdot n , dS = integral duplaD -2raizu^2+v^2 , du , dv
onde D é o domínio u^2+v^2 <= 36. Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 7
Em coordenadas polares, onde u = rcostheta e v = rsintheta, a expressão raizu^2+v^2 vira r, e o elemento de área du , dv vira r , dr , dtheta. Assim, a integral fica:
-2 integral0^2pi integral0^6 r cdot r , dr , dtheta = -2 integral0^2pi integral0^6 r^2 , dr , dtheta