Calcule integral x+5x^3-2 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais pra simplificar a expressão. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3-2x^2+x = x(x^2-2x+1) . Observando os termos, podemos colocar x^2-2x+1 = (x-1)^2 em evidência:
x^3-2x^2+x = x(x-1)^2
Agora, o polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora que fizemos a fatoração, vamos decompor a fração x+5x(x-1)^2 = Ax + Bx-1 + C(x-1)^2 em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x + 5 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx para eliminar os denominadores:
A(x-1)^2 = A(x^2 - 2x + 1)
Vamos expandir os termos do lado direito:
Bx(x-1) = Bx^2 - Bx
Cx = Cx
x + 5 = A x^2 - 2A x + A + B x^2 - Bx + Cx
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
x + 5 = (A + B)x^2 + (-2A - B + C)x + A
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de A + B = 0 -2A - B + C = 1 A = 5 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, sabemos que -2(5) - (-5) + C = 1 -10 + 5 + C = 1 -5 + C = 1 C = 6 .
  2. Substituindo na primeira equação: .
  3. Agora, substituindo e na segunda equação:
Então, , e .

Passo 7

Agora que temos os valores de x+5x(x-1)^2 = 5x - 5x-1 + 6(x-1)^2 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x , dx - integral 5x-1 , dx + integral 6(x-1)^2 , dx
Sabemos que:
  • 5 ln|x| - 5 ln|x-1| - 6x-1 + C
Aplicando isso:

Resposta

A integral é igual a .

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