Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais pra simplificar a expressão. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observando os termos, podemos colocar em evidência:
Agora, o polinômio quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora que fizemos a fatoração, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Aqui, , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Vamos expandir os termos do lado direito:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, sabemos que -2(5) - (-5) + C = 1 -10 + 5 + C = 1 -5 + C = 1 C = 6 .
Substituindo na primeira equação: .
Agora, substituindo e na segunda equação:
Então, , e .
Passo 7
Agora que temos os valores de x+5x(x-1)^2 = 5x - 5x-1 + 6(x-1)^2 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 8
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x , dx - integral 5x-1 , dx + integral 6(x-1)^2 , dx