Calcule integral2^6 d xx^2 raiz4+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral que é integral2^6 dxx^2 raiz4+x^2. A matéria aqui envolve Cálculo Integral, especificamente integrais que requerem substituição trigonométrica ou substituição u para simplificar. Vamos precisar entender como manipular a expressão dentro da raiz quadrada e escolher a melhor substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integração fazendo uma substituição que nos ajude a lidar com a parte de raiz4 + x^2. Vamos definir uma nova variável u igual a x, ou seja, u = x. Assim, du = dx.

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador da nossa função: x^2 raiz4 + x^2. Com a substituição u = x, podemos reescrever isso como u^2 raiz4 + u^2.

Passo 4

Vamos usar uma substituição trigonométrica para simplificar raiz4 + u^2. Sabemos que para expressões do tipo raiza^2 + u^2, podemos usar u = a tan(theta). Aqui, a = 2, então definimos u = 2 tan(theta). Assim, du = 2 sec^2(theta) dtheta.

Passo 5

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral duu^2 raiz4 + u^2 = integral 2 sec^2(theta) dtheta(2 tan(theta))^2 raiz4 + (2 tan(theta))^2
Simplificando:
= integral 2 sec^2(theta) dtheta4 tan^2(theta) cdot 2 sec(theta) = integral 2 sec^2(theta)8 tan^2(theta) sec(theta) dtheta = integral sec(theta)4 tan^2(theta) dtheta

Passo 6

Simplificando ainda mais a expressão, lembramos que tan(theta) = sin(theta)cos(theta) e sec(theta) = 1cos(theta). Então:
sec(theta)tan^2(theta) = 1cos(theta)(sin(theta)cos(theta))^2 = 1cos(theta) cdot cos^2(theta)sin^2(theta) = cos(theta)sin^2(theta)
Portanto, a integral fica:
integral cos(theta)4 sin^2(theta) dtheta = 14 integral cos(theta)sin^2(theta) dtheta

Passo 7

Agora, fazemos mais uma substituição: deixamos v = sin(theta), então dv = cos(theta) dtheta. A integral se torna:
14 integral dvv^2 = 14 ( -1v ) + C = -14v + C
Substituindo de volta v = sin(theta):
-14 sin(theta) + C

Passo 8

Voltando para a substituição trigonométrica original, onde u = 2 tan(theta), temos:
tan(theta) = u2 Rightarrow theta = tan^-1(u2)
E sabemos que sin(theta) = uraiz4 + u^2. Então:
-14 cdot uraiz4 + u^2 + C = -raiz4 + u^24u + C
Substituindo u = x de volta:
-raiz4 + x^24x + C

Passo 9

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 2 a 6:
[ -raiz4 + x^24x ]2^6 = ( -raiz4 + 6^24 cdot 6 ) - ( -raiz4 + 2^24 cdot 2 )
Calculando cada termo:
= -raiz4024 + raiz88 = -2raiz1024 + 2raiz28 = -raiz1012 + raiz24

Resposta

A integral é igual a -dfracraiz1012 + dfracraiz24.

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