Calcule o volume do solido. O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo
em
e
. As seções transversais perpendiculares ao eixo
são tiângulos equiláteros cujas bases se estendem da curva
à curva
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está entre os planos perpendiculares ao eixo
nos pontos
e
. Além disso, nos diz que as seções transversais desses sólidos, ou seja, os cortes perpendiculares ao eixo
, são triângulos equiláteros. A base desses triângulos vai da curva
até a curva
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a técnica de integração para encontrar volumes de sólidos com seções conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o comprimento da base de cada triângulo transversal. Para um valor qualquer de
entre
e
, a base do triângulo vai de
até
. Então, o comprimento dessa base é:
Passo 3
Como estamos lidando com triângulos equiláteros, todos os lados são iguais. Portanto, o comprimento dos lados do triângulo também é
. A área de um triângulo equilátero com lado
é dada por:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar as áreas dessas seções transversais ao longo de todo o intervalo de
, ou seja, integrar a área em relação a
de
a
. Portanto, o volume
é dado por:
Passo 5
Observando a função
e
, notamos que elas são funções pares, ou seja,
e
. Entretanto, ao calcular
, a função resultante não é par nem ímpar. Para simplificar os cálculos, podemos aproveitar a simetria do intervalo e calcular o dobro da integral de
a
:
Passo 6
Vamos expandir o quadrado no integrando:
Conhecendo as identidades trigonométricas:
Substituindo na expressão:
Passo 7
Vamos então reescrever a integral:
Simplificando os constantes:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
- Integral de
em relação a :
- Integral de
:
Sabemos que
, então:
- Integral de
:
Passo 9
Somando todas as integrais:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos calcular nos limites de integração.
Para
:
Sabendo que:
Portanto:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Passo 12
Distribuindo o
:
Calculando cada termo:
Passo 13
Somando os termos:
Passo 14
Para simplificar, podemos fatorar o termo
:
Passo 15
Se quisermos uma aproximação numérica, substituímos os valores de
e
:
Sabendo que
e
:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.
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Calcule
Calcule
Desenhe o conjunto
e calcule a área.
é a região entre as curvas
e
, limitada à esquerda pela reta
è̀ direita por
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.