Calcule o volume do solido. O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo x em x = -pi / 3 e x = pi / 3. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são tiângulos equiláteros cujas bases se estendem da curva y = tg(x) à curva y = sec(x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está entre os planos perpendiculares ao eixo nos pontos e . Além disso, nos diz que as seções transversais desses sólidos, ou seja, os cortes perpendiculares ao eixo , são triângulos equiláteros. A base desses triângulos vai da curva até a curva . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a técnica de integração para encontrar volumes de sólidos com seções conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o comprimento da base de cada triângulo transversal. Para um valor qualquer de entre e , a base do triângulo vai de até . Então, o comprimento dessa base é:

Passo 3

Como estamos lidando com triângulos equiláteros, todos os lados são iguais. Portanto, o comprimento dos lados do triângulo também é . A área de um triângulo equilátero com lado é dada por:
Á
Substituindo por , temos:
Á

Passo 4

Agora, para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar as áreas dessas seções transversais ao longo de todo o intervalo de , ou seja, integrar a área em relação a de a . Portanto, o volume é dado por:

Passo 5

Observando a função e , notamos que elas são funções pares, ou seja, e . Entretanto, ao calcular , a função resultante não é par nem ímpar. Para simplificar os cálculos, podemos aproveitar a simetria do intervalo e calcular o dobro da integral de a :

Passo 6

Vamos expandir o quadrado no integrando:
Conhecendo as identidades trigonométricas:
Substituindo na expressão:

Passo 7

Vamos então reescrever a integral:
Simplificando os constantes:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
  1. Integral de em relação a :
  1. Integral de :
Sabemos que , então:
  1. Integral de :

Passo 9

Somando todas as integrais:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos calcular nos limites de integração.
Para :
Sabendo que:
Portanto:
Para :

Passo 11

Subtraindo os valores:
Simplificando:

Passo 12

Distribuindo o :
Calculando cada termo:

Passo 13

Somando os termos:

Passo 14

Para simplificar, podemos fatorar o termo :

Passo 15

Se quisermos uma aproximação numérica, substituímos os valores de e :
Sabendo que e :

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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