Desenhe o conjunto A e calcule a área. A é a região entre as curvas y = raiz(x + 1) e x + y = 1, limitada à esquerda pela reta x = 0 è̀ direita por x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para desenhar o conjunto e calcular a área dessa região. O conjunto é definido entre duas curvas: e . Além disso, essa região está limitada à esquerda pela reta e à direita por .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, interseção de curvas e cálculo de integrais para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as duas curvas para visualizar melhor a região .
  • Curva 1:
    Essa é uma função raiz quadrada que se desloca para a esquerda em 1 unidade devido ao dentro da raiz.
  • Curva 2:
    Vamos reescrever essa equação para facilitar: . Essa é uma reta que intercepta o eixo no ponto (0,1) e o eixo no ponto (1,0).
Também temos as retas verticais e que vão limitar nossa região pela esquerda e direita, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para entender melhor onde elas se encontram.
Igualando as duas expressões para :
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearrumando os termos:
Então, as soluções são e .
Como nosso intervalo está entre e , apenas está dentro desse intervalo. Isso significa que as curvas se intersectam nesse ponto dentro da região que estamos analisando.

Passo 4

Com as interseções identificadas, vamos agora desenhar as curvas no intervalo de a :
  1. Para :
    • Quando ,
    • Quando ,
  2. Para :
    • Quando ,
    • Quando , (mas como estamos considerando como limite, isso marca o fim da nossa região)
Ao desenhar essas curvas, veremos que está acima de no intervalo de a .

Passo 5

Agora, para calcular a área entre essas curvas no intervalo de a , usamos a fórmula da integral definida:
Á
Aqui, é a função que está por cima e a que está por baixo. No nosso caso:
Então, a área será:
Á

Passo 6

Vamos agora calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á
Agora, integramos termo a termo:
  1. Substituindo , então :
Então, colocando tudo junto:
Á

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de e :
Para :
Para :
Então, a área será:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

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