Desenhe o conjunto
e calcule a área.
é a região entre as curvas
e
, limitada à esquerda pela reta
è̀ direita por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para desenhar o conjunto
e calcular a área dessa região. O conjunto
é definido entre duas curvas:
e
. Além disso, essa região está limitada à esquerda pela reta
e à direita por
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, interseção de curvas e cálculo de integrais para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as duas curvas para visualizar melhor a região
.
-
Curva 1:
Essa é uma função raiz quadrada que se desloca para a esquerda em 1 unidade devido aodentro da raiz. -
Curva 2:
Vamos reescrever essa equação para facilitar:. Essa é uma reta que intercepta o eixo no ponto (0,1) e o eixo no ponto (1,0).
Também temos as retas verticais
e
que vão limitar nossa região pela esquerda e direita, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para entender melhor onde elas se encontram.
Igualando as duas expressões para
:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearrumando os termos:
Então, as soluções são
e
.
Como nosso intervalo está entre
e
, apenas
está dentro desse intervalo. Isso significa que as curvas se intersectam nesse ponto dentro da região que estamos analisando.
Passo 4
Com as interseções identificadas, vamos agora desenhar as curvas no intervalo de
a
:
-
Para
: - Quando
, - Quando
,
- Quando
-
Para
: - Quando
, - Quando
, (mas como estamos considerando como limite, isso marca o fim da nossa região)
- Quando
Ao desenhar essas curvas, veremos que
está acima de
no intervalo de
a
.
Passo 5
Agora, para calcular a área entre essas curvas no intervalo de
a
, usamos a fórmula da integral definida:
Aqui,
é a função que está por cima e
a que está por baixo. No nosso caso:
Então, a área será:
Passo 6
Vamos agora calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, integramos termo a termo:
-
Substituindo
, então : -
-
Então, colocando tudo junto:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Então, a área será:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
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Calcule o volume do solido. O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo
em
e
. As seções transversais perpendiculares ao eixo
são tiângulos equiláteros cujas bases se estendem da curva
à curva
.
Calcule
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
Prove que a igualdade abaixo é verdadeira.