Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de segunda ordem que a gente tem aqui:
Além disso, temos as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Assim, temos duas soluções:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Como o lado direito da equação é a soma de um polinômio de segundo grau () e uma função senoidal (), vamos encontrar soluções particulares para cada parte e depois somá-las.
a) Para o polinômio :
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada termo:
Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular para o polinômio é:
b) Para a função :
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular para a função senoidal é:
Passo 4
Agora, juntamos as soluções encontradas:
Substituindo:
Passo 5
Por fim, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes e .
Primeiro, calculamos :
Como , temos:
Agora, calculamos :
Avaliando em :
Como , temos:
Agora, temos o sistema de equações:
Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar: