Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.


Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de segunda ordem que a gente tem aqui:
Além disso, temos as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Assim, temos duas soluções:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Como o lado direito da equação é a soma de um polinômio de segundo grau ( ) e uma função senoidal (), vamos encontrar soluções particulares para cada parte e depois somá-las.
a) Para o polinômio :
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada termo:
Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular para o polinômio é:
b) Para a função :
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular para a função senoidal é:

Passo 4

Agora, juntamos as soluções encontradas:
Substituindo:

Passo 5

Por fim, aplicamos as condições iniciais para encontrar os constantes e .
Primeiro, calculamos :
Como , temos:
Agora, calculamos :
Avaliando em :
Como , temos:
Agora, temos o sistema de equações:
Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Mostre, pela definição, que:
b) .
Calcule a integral.
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.