Mostre, pela definição, que:
b) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente mostre, usando a definição de limite, que quando as variáveis e se aproximam dos valores 1 e 2, respectivamente, a expressão se aproxima de 9. O conteúdo principal aqui é o conceito de limite em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar da definição formal de limite para funções de duas variáveis e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos calcular a diferença :
Queremos mostrar que essa diferença pode ser tornada menor que qualquer escolhendo apropriado.

Passo 4

Primeiro, substituímos e na expressão:
Sabemos que quando e :

Passo 5

Vamos reescrever :

Passo 6

Agora, podemos fatorar as expressões:
Então:

Passo 7

Vamos estimar cada parte dessa expressão para encontrar um limite superior para . Suponha que . Isso implica que tanto quanto .
Assumindo , temos:

Passo 8

Agora, podemos estimar :
Somando tudo:

Passo 9

Para garantir que , basta escolher tal que:
Podemos simplificar escolhendo menor ou igual a 1 e , garantindo que .

Resposta

Portanto, para todo , escolhendo , garantimos que se , então . Assim, pela definição de limite, temos:

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Calcule a integral.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
; quando .
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.


Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.