Mostre, pela definição, que:
b) lim (x, y) (1,2)(x^2+2 x y+y^2)=9.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente mostre, usando a definição de limite, que quando as variáveis e se aproximam dos valores 1 e 2, respectivamente, a expressão se aproxima de 9. O conteúdo principal aqui é o conceito de limite em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar da definição formal de limite para funções de duas variáveis e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = L
significa que para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos calcular a diferença |x^2 + 2xy + y^2 - 9| :
Queremos mostrar que essa diferença pode ser tornada menor que qualquer escolhendo apropriado.

Passo 4

Primeiro, substituímos x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 2x y + y^2 e 1^2 + 2 times 1 times 2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9 na expressão:
Sabemos que quando e :

Passo 5

Vamos reescrever x^2 + 2xy + y^2 - 9 = x^2 + 2xy + y^2 - (1^2 + 2 times 1 times 2 + 2^2) :
= x^2 - 1 + 2xy - 4 + y^2 - 4
= (x^2 - 1) + 2xy - 4 + (y^2 - 4)

Passo 6

Agora, podemos fatorar as expressões:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2)
Então:
|f(x, y) - 9| = |(x - 1)(x + 1) + 2xy - 4 + (y - 2)(y + 2)|

Passo 7

Vamos estimar cada parte dessa expressão para encontrar um limite superior para |x + 1| <= |x - 1| + 2 <= de. Suponha que |y + 2| <= |y - 2| + 4 <= de. Isso implica que tanto quanto .
Assumindo , temos:

Passo 8

Agora, podemos estimar |(x - 1)(x + 1)| <= |x - 1| cdot |x + 1| <= de:
|2xy - 4| = |2x(y - 2) + 2(x - 1)cdot 2| <= 2|x||y - 2| + 4|x - 1| <= 2(2 + de
|(y - 2)(y + 2)| <= |y - 2| cdot |y + 2| <= de
|f(x, y) - 9| <= 3de
Somando tudo:

Passo 9

Para garantir que 16de, basta escolher tal que:
Podemos simplificar escolhendo menor ou igual a 1 e , garantindo que .

Resposta

Portanto, para todo lim (x, y) (1,2)(x^2+2 x y+y^2)=9 , escolhendo , garantimos que se , então . Assim, pela definição de limite, temos:

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