Mostre, pela definição, que:
b)
.
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente mostre, usando a definição de limite, que quando as variáveis
e
se aproximam dos valores 1 e 2, respectivamente, a expressão
se aproxima de 9. O conteúdo principal aqui é o conceito de limite em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar da definição formal de limite para funções de duas variáveis e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a diferença
:
Queremos mostrar que essa diferença pode ser tornada menor que qualquer
escolhendo
apropriado.
Passo 4
Primeiro, substituímos
e
na expressão:
Sabemos que quando
e
:
Passo 5
Vamos reescrever
:
Passo 6
Agora, podemos fatorar as expressões:
Então:
Passo 7
Vamos estimar cada parte dessa expressão para encontrar um limite superior para
. Suponha que
. Isso implica que tanto
quanto
.
Assumindo
, temos:
Passo 8
Agora, podemos estimar
:
Somando tudo:
Passo 9
Para garantir que
, basta escolher
tal que:
Podemos simplificar escolhendo
menor ou igual a 1 e
, garantindo que
.
Resposta
Portanto, para todo
, escolhendo
, garantimos que se
, então
. Assim, pela definição de limite, temos:
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando
.
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.