Calcule a integral usando substituição trigonométrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender trigonometria e técnicas de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão dentro da raiz: . Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica onde . Por quê? Porque , o que simplifica a raiz.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Agora, calculamos :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificamos dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:

Passo 6

A integral de é conhecida:
Portanto:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é , o lado adjacente é , e o lado oposto é . Assim:

Passo 8

Substituindo na expressão final:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a integral imprópria .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por para e em torno do eixo .
Questão 1) (Valor: 1,0 ponto) Calcule as derivadas.
b)
Questão 1) (Valor: 1,0 ponto) Calcule as derivadas.
a)