Calcule a integral integral xraizx^2-25 d x usando substituição trigonométrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender trigonometria e técnicas de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão dentro da raiz: . Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica onde . Por quê? Porque , o que simplifica a raiz.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
x = 5 sec theta
Agora, calculamos dx = 5 sec theta tan theta , dtheta :

Passo 4

Substituímos integral 5 sec thetaraiz(5 sec theta)^2 - 25 cdot 5 sec theta tan theta , dtheta e raiz25 sec^2 theta - 25 = raiz25 (sec^2 theta - 1) = raiz25 tan^2 theta = 5 tan theta na integral original:
Simplificamos dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
integral 5 sec theta5 tan theta cdot 5 sec theta tan theta , dtheta = integral 5 sec^2 theta , dtheta

Passo 6

A integral de integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C é conhecida:
integral 5 sec^2 theta , dtheta = 5 tan theta + C
Portanto:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original tan theta = raizx^2 - 255 . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é , o lado adjacente é , e o lado oposto é . Assim:

Passo 8

Substituindo na expressão final:
5 tan theta + C = 5 cdot raizx^2 - 255 + C = raizx^2 - 25 + C

Resposta

A integral é igual a .

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