Questão 1) (Valor: 1,0 ponto) Calcule as derivadas.
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão onde temos a função e precisamos encontrar a derivada dessa função. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem produtos e funções compostas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e também saber derivar funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é o produto de duas funções:
Para derivar , vamos usar a regra do produto, que diz que se , então a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e .
Primeiro, a derivada de :
Sabemos que a derivada de em relação a é . Então,

Passo 4

Em seguida, vamos derivar .
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
Sabemos que:
  • A derivada de é
  • A derivada de é 1
Aplicando isso:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores:

Passo 6

Podemos fatorar para simplificar a expressão:
Distribuindo os termos dentro do colchete:

Passo 7

Finalmente, organizando os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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Questão 1) (Valor: 1,0 ponto) Calcule as derivadas.
b)
Calcule a integral usando substituição trigonométrica.
Questão 2) (Valor: 1,0 ponto) Calcule .
a)
Questão 5) (Valor: 4,0 pontos) Esboce o gráfico da função