Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por
para
e
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pela função
entre
e
ao redor do eixo
. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente o método dos discos ou arruelas para encontrar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como aplicar esse método para configurar e calcular a integral que nos dará o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a função
entre
e
. Essa função representa uma hipérbole que está no primeiro quadrante. Quando giramos essa região em torno do eixo
, formamos um sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para encontrar volumes.
Passo 3
O método dos discos nos diz que o volume
de um sólido de revolução pode ser encontrado integrando a área de discos infinitamente finos ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral é:
Aqui,
é a função que descreve a borda da região a ser girada, e
e
são os limites de integração. No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação da região delimitada por
entre
e
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam
e
funções tais que
para
, para algum
. Se
e
existem, então
Calcule a integral imprópria
.
Calcule a integral
usando substituição trigonométrica.