Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por para e em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pela função entre e ao redor do eixo . Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente o método dos discos ou arruelas para encontrar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como aplicar esse método para configurar e calcular a integral que nos dará o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a função entre e . Essa função representa uma hipérbole que está no primeiro quadrante. Quando giramos essa região em torno do eixo , formamos um sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para encontrar volumes.

Passo 3

O método dos discos nos diz que o volume de um sólido de revolução pode ser encontrado integrando a área de discos infinitamente finos ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral é:
Aqui, é a função que descreve a borda da região a ser girada, e e são os limites de integração. No nosso caso, , e .

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região delimitada por entre e em torno do eixo é unidades cúbicas.

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Demonstre o Teorema da Comparação dado em sala de aula: Sejam e funções tais que para , para algum . Se e existem, então
Calcule a integral imprópria .
Calcule a integral usando substituição trigonométrica.