Calcule integral e^xx d x como uma série infinita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a usando uma série infinita. Isso está relacionado ao estudo de integrais e séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções exponenciais em séries e como integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial e^x = sumn=0^infty x^nn! pode ser representada como uma série de potências:
e^xx = 1x sumn=0^infty x^nn! = sumn=0^infty x^n-1n!
Isso significa que podemos escrever dividindo cada termo da série por :

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série termo a termo em relação a integral e^xx dx = integral sumn=0^infty x^n-1n! dx = sumn=0^infty integral x^n-1n! dx :
Aqui, trocamos a ordem de integração e somatório, o que é válido dentro do raio de convergência da série.

Passo 4

Integrando cada termo individualmente:
integral x^n-1n! dx = 1n! integral x^n-1 dx = 1n! cdot x^nn + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, juntando todos os termos integrados, temos:
integral e^xx dx = sumn=0^infty x^nn! cdot n + C
Podemos simplificar o índice da soma começando em integral e^xx dx = sumn=1^infty x^nn cdot n! + C , já que para o termo seria indefinido:

Resposta

A integral de integral e^xx dx = sumn=1^infty x^nn cdot n! + C em relação a como uma série infinita é dada por:
Onde é a constante de integração.

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