Calcule
como uma série infinita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
usando uma série infinita. Isso está relacionado ao estudo de integrais e séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções exponenciais em séries e como integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial
pode ser representada como uma série de potências:
Isso significa que podemos escrever
dividindo cada termo da série por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série termo a termo em relação a
:
Aqui, trocamos a ordem de integração e somatório, o que é válido dentro do raio de convergência da série.
Passo 4
Integrando cada termo individualmente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, juntando todos os termos integrados, temos:
Podemos simplificar o índice da soma começando em
, já que para
o termo seria indefinido:
Resposta
A integral de
em relação a
como uma série infinita é dada por:
Onde
é a constante de integração.