Um corpo de massa constante é projetado para fora da Terra em uma direção perpendicular à superfície da Terra com uma velocidade inicial . Supondo desprezível a resistência do ar, mas levando em consideração a variação do campo gravitacional da Terra com a distância, encontre uma fórmula para a velocidade desse corpo em função de sua distância à superfície da Terra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma fórmula para a velocidade de um corpo que é lançado da Terra com uma velocidade inicial , considerando que a gravidade da Terra varia com a distância. Então, vamos usar conceitos de física clássica, mais especificamente de energia e campo gravitacional. Vamos precisar das leis da conservação de energia e da fórmula para a força gravitacional que depende da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total do sistema (energia cinética + energia potencial gravitacional) é conservada, já que não tem resistência do ar. A energia cinética inicial do corpo é e a energia potencial gravitacional na superfície da Terra é , onde é a constante gravitacional, é a massa da Terra e é o raio da Terra.

Passo 3

Quando o corpo está a uma distância da superfície da Terra (onde é a altura), a energia cinética é e a energia potencial gravitacional é . Como a energia total é constante, podemos igualar a energia total inicial à energia total em qualquer distância .

Passo 4

Então, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade do corpo em função da distância à superfície da Terra é:

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