Um corpo de massa constante
é projetado para fora da Terra em uma direção perpendicular à superfície da Terra com uma velocidade inicial
. Supondo desprezível a resistência do ar, mas levando em consideração a variação do campo gravitacional da Terra com a distância, encontre uma fórmula para a velocidade desse corpo em função de sua distância à superfície da Terra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma fórmula para a velocidade de um corpo que é lançado da Terra com uma velocidade inicial
, considerando que a gravidade da Terra varia com a distância. Então, vamos usar conceitos de física clássica, mais especificamente de energia e campo gravitacional. Vamos precisar das leis da conservação de energia e da fórmula para a força gravitacional que depende da distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total do sistema (energia cinética + energia potencial gravitacional) é conservada, já que não tem resistência do ar. A energia cinética inicial do corpo é
e a energia potencial gravitacional na superfície da Terra é
, onde
é a constante gravitacional,
é a massa da Terra e
é o raio da Terra.
Passo 3
Quando o corpo está a uma distância
da superfície da Terra (onde
é a altura), a energia cinética é
e a energia potencial gravitacional é
. Como a energia total é constante, podemos igualar a energia total inicial à energia total em qualquer distância
.
Passo 4
Então, temos:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade do corpo em função da distância
à superfície da Terra é: