Determine se a afirmação sobre o campo
é verdadeira ou falsa.
quando
.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação que diz respeito ao campo vetorial
. O objetivo aqui é verificar se a norma desse campo, representada por
, tende a zero quando o ponto
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre a norma de vetores e limites.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a norma de um campo vetorial. A norma de
é calculada usando a fórmula:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite dessa norma quando
. Isso significa que vamos calcular:
Passo 4
Para simplificar, podemos analisar o limite dentro da raiz. Sabemos que tanto
quanto
tendem a zero quando
e
tendem a zero. Portanto:
Passo 5
Como a raiz quadrada é uma função contínua, podemos passar o limite para dentro:
Resposta
A afirmação é verdadeira.
tende a zero quando
se aproxima de
.
Exercícios relacionados
Esboce o campo vetorial
desenhando um diagrama.
Calcule
como uma série infinita.
Confirme se
é uma função potencial de
.
Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.