Determine se a afirmação sobre o campo é verdadeira ou falsa.
quando .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação que diz respeito ao campo vetorial . O objetivo aqui é verificar se a norma desse campo, representada por , tende a zero quando o ponto se aproxima de . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre a norma de vetores e limites.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a norma de um campo vetorial. A norma de é calculada usando a fórmula:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite dessa norma quando . Isso significa que vamos calcular:

Passo 4

Para simplificar, podemos analisar o limite dentro da raiz. Sabemos que tanto quanto tendem a zero quando e tendem a zero. Portanto:

Passo 5

Como a raiz quadrada é uma função contínua, podemos passar o limite para dentro:

Resposta

A afirmação é verdadeira. tende a zero quando se aproxima de .

Exercícios relacionados

Esboce o campo vetorial desenhando um diagrama.
Calcule como uma série infinita.
Confirme se é uma função potencial de .

Sejam uma constante e e . Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.