Considere um açude contendo, inicialmente, 10 milhões de galões (cerca de 45 milhões de litros) de água fresca. O açude recebe um fluxo indesejável de produtos químicos a uma taxa de 5 milhões de galões por ano e a mistura sai do açude a uma mesma taxa. A concentração
de produtos químicos na água que está entrando varia periodicamente com o tempo de acordo com a fórmula
. Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produtos químicos no açude em qualquer instante.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um açude com 10 milhões de galões de água fresca inicialmente. Esse açude está recebendo produtos químicos de entrada a uma taxa de 5 milhões de galões por ano, e a mistura também está saindo na mesma taxa para manter o volume constante. A concentração dos produtos químicos que entram muda com o tempo, seguindo a fórmula
gramas por galão. Nosso objetivo é construir um modelo matemático desse processo e descobrir quanto de produto químico está no açude em qualquer instante
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como elas podem modelar a quantidade de substâncias em sistemas que estão entrando e saindo continuamente. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar. Vamos chamar
da quantidade de produtos químicos no açude no instante
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como a quantidade de produto químico muda com o tempo. A taxa de variação de
depende de dois fatores principais:
-
Entrada de produtos químicos: A água que entra no açude traz produtos químicos a uma taxa de
milhões de galões por ano, com concentração g/galão. Então, a taxa de entrada de produtos químicos é gramas por ano. -
Saída de produtos químicos: A água que sai do açude tem a mesma taxa de fluxo,
milhões de galões por ano, mas a concentração de produtos químicos na água que sai é a concentração atual no açude, ou seja, gramas por galão (já que o volume do açude é constante em 10 milhões de galões).
Portanto, a taxa de saída de produtos químicos é
gramas por ano.
Passo 4
Com base nisso, podemos escrever a equação diferencial que descreve a taxa de variação de
:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar
. Vamos reescrever a equação:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 6
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Resolvendo a integral do lado esquerdo:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes ou as fórmulas de integração de funções exponenciais multiplicadas por senos. O resultado é:
Simplificando:
Multiplicando por 5:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Finalmente, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que inicialmente,
(supondo que não há produtos químicos no açude no começo).
Substituindo
:
Resposta
Portanto, a quantidade de produtos químicos no açude em qualquer instante
é dada por:
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