Considere um açude contendo, inicialmente, 10 milhões de galões (cerca de 45 milhões de litros) de água fresca. O açude recebe um fluxo indesejável de produtos químicos a uma taxa de 5 milhões de galões por ano e a mistura sai do açude a uma mesma taxa. A concentração de produtos químicos na água que está entrando varia periodicamente com o tempo de acordo com a fórmula . Construa um modelo matemático desse processo de fluxo e determine a quantidade de produtos químicos no açude em qualquer instante.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um açude com 10 milhões de galões de água fresca inicialmente. Esse açude está recebendo produtos químicos de entrada a uma taxa de 5 milhões de galões por ano, e a mistura também está saindo na mesma taxa para manter o volume constante. A concentração dos produtos químicos que entram muda com o tempo, seguindo a fórmula gramas por galão. Nosso objetivo é construir um modelo matemático desse processo e descobrir quanto de produto químico está no açude em qualquer instante .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como elas podem modelar a quantidade de substâncias em sistemas que estão entrando e saindo continuamente. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar. Vamos chamar da quantidade de produtos químicos no açude no instante . Nosso objetivo é encontrar uma expressão para .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como a quantidade de produto químico muda com o tempo. A taxa de variação de depende de dois fatores principais:
  1. Entrada de produtos químicos: A água que entra no açude traz produtos químicos a uma taxa de milhões de galões por ano, com concentração g/galão. Então, a taxa de entrada de produtos químicos é gramas por ano.
  2. Saída de produtos químicos: A água que sai do açude tem a mesma taxa de fluxo, milhões de galões por ano, mas a concentração de produtos químicos na água que sai é a concentração atual no açude, ou seja, gramas por galão (já que o volume do açude é constante em 10 milhões de galões).
Portanto, a taxa de saída de produtos químicos é gramas por ano.

Passo 4

Com base nisso, podemos escrever a equação diferencial que descreve a taxa de variação de :
í
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar . Vamos reescrever a equação:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 6

O fator integrante é dado por:
Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por :
Isso simplifica a equação para:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar :
Resolvendo a integral do lado esquerdo:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Para resolver , usamos a técnica de integração por partes ou as fórmulas de integração de funções exponenciais multiplicadas por senos. O resultado é:
Simplificando:
Multiplicando por 5:

Passo 9

Agora, juntando tudo:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Finalmente, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que inicialmente, (supondo que não há produtos químicos no açude no começo).
Substituindo :

Resposta

Portanto, a quantidade de produtos químicos no açude em qualquer instante é dada por:

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