Calcule: integral0^pi cos (3 x) cos (8 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de de 0 até . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em uma soma de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que diz que:
cos(A) cos(B) = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
No nosso caso, e .

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
cos(3x) cos(8x) = 12 [cos(3x + 8x) + cos(3x - 8x)] = 12 [cos(11x) + cos(-5x)]
Sabemos que 12 [cos(11x) + cos(5x)] , então:

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral0^pi cos(3x) cos(8x) , dx = 12 integral0^pi [cos(11x) + cos(5x)] , dx
Vamos separar as integrais:
12 ( integral0^pi cos(11x) , dx + integral0^pi cos(5x) , dx )

Passo 5

Integrando cada termo:
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k
Aplicando isso:
12 ( [ sin(11x)11 ]0^pi + [ sin(5x)5 ]0^pi )
Calculando nos limites:
12 ( sin(11pi) - sin(0)11 + sin(5pi) - sin(0)5 )
Sabemos que 12 ( 0 - 011 + 0 - 05 ) = 0 , então:

Resposta

O valor da integral é .

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