Usando a definição mostre que: lim (x, y) (1,3)(2 x-4 y)=-10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, usando a definição de limite, que:
lim (x, y) (1,3)(2x - 4y) = -10
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites para funções de duas variáveis. Vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar um pouco de álgebra para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim (x, y) (a,b)f(x, y) = L
Significa que, para todo , existe um tal que sempre que a distância entre e for menor que (ou seja, ), então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos aplicar a definição com os valores específicos do nosso exercício. Queremos mostrar que para todo raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 < de, existe um |2x - 4y + 10| = |2(x - 1) - 4(y - 3)| tal que:
Primeiro, vamos simplificar a expressão :
Aqui, fizemos uma pequena manipulação para facilitar a análise.

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade da desigualdade triangular, que nos diz que:
|a + b| <= |a| + |b|
Aplicando isso à nossa expressão:
|2(x - 1) - 4(y - 3)| <= |2(x - 1)| + |4(y - 3)| = 2|x - 1| + 4|y - 3|
Queremos que essa soma seja menor que . Para facilitar, vamos relacionar e com a distância .

Passo 5

percebemos que tanto 2|x - 1| + 4|y - 3| <= 2raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 4raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 6raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 quanto 6de são menores que a distância . Portanto:
Queremos que isso seja menor que , então basta escolher tal que:

Passo 6

Então, para qualquer de, se escolhermos:
|2x - 4y + 10| < epsilon
Então, sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite para a nossa função.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:
lim (x, y) (1,3)(2x - 4y) = -10

Exercícios relacionados