Usando a definição mostre que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, usando a definição de limite, que:
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites para funções de duas variáveis. Vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar um pouco de álgebra para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
Significa que, para todo , existe um tal que sempre que a distância entre e for menor que (ou seja, ), então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos aplicar a definição com os valores específicos do nosso exercício. Queremos mostrar que para todo , existe um tal que:
Primeiro, vamos simplificar a expressão :
Aqui, fizemos uma pequena manipulação para facilitar a análise.

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade da desigualdade triangular, que nos diz que:
Aplicando isso à nossa expressão:
Queremos que essa soma seja menor que . Para facilitar, vamos relacionar e com a distância .

Passo 5

percebemos que tanto quanto são menores que a distância . Portanto:
Queremos que isso seja menor que , então basta escolher tal que:

Passo 6

Então, para qualquer , se escolhermos:
Então, sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite para a nossa função.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:

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Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
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