Usando a definição mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, usando a definição de limite, que:
Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites para funções de duas variáveis. Vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar um pouco de álgebra para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
Significa que, para todo
, existe um
tal que sempre que a distância entre
e
for menor que
(ou seja,
), então
.
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição com os valores específicos do nosso exercício. Queremos mostrar que para todo
, existe um
tal que:
Primeiro, vamos simplificar a expressão
:
Aqui, fizemos uma pequena manipulação para facilitar a análise.
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade da desigualdade triangular, que nos diz que:
Aplicando isso à nossa expressão:
Queremos que essa soma seja menor que
. Para facilitar, vamos relacionar
e
com a distância
.
Passo 5
percebemos que tanto
quanto
são menores que a distância
. Portanto:
Queremos que isso seja menor que
, então basta escolher
tal que:
Passo 6
Então, para qualquer
, se escolhermos:
Então, sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a definição de limite para a nossa função.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:
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Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
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