Calcule integral0^1 xe^x^2 d x=
(A) 1e 14 e
© e^44
(D) 4e^1 / 4
(E) 4 e^1 / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, que é uma parte importante do cálculo diferencial e integral. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que vai facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Vamos deixar:
u = x^2
Isso porque o expoente está dentro da função exponencial, e ao substituir, vamos conseguir simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para encontrar .
Isso significa que:
Vamos substituir isso na integral original.

Passo 4

Substituindo integral0^1 xe^x^2 , dx = integralu(0)^u(1) 1e^u cdot du2 e 12 integral0^1 e^-u , du na integral, temos:
Calculando os novos limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
    Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 [ -e^-u ]0^1 . A antiderivada de é . Então:

Passo 6

Vamos substituir os limites na antiderivada:
12 ( -e^-1 + e^0 )
Sabemos que 12 ( -1e + 1 ) , então:

Passo 7

Simplificando a expressão:
12 ( 1 - 1e )
Isso pode ser dividido em duas frações:
12 - 12e

Resposta

A integral vale .

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