Para quais valores de
a função
é convexa (côncava para cima)?
(A)
(
©
(b)
(E) NRA
(A)
(
©
(b)
(E) NRA
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de
a função
é convexa, ou seja, côncava para cima. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a saber se a função é côncava para cima (convexa) ou para baixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é convexa quando sua segunda derivada é positiva. Então, nosso objetivo aqui é calcular a segunda derivada de
e encontrar os valores de
para os quais essa derivada é maior que zero.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois termos multiplicados é a derivada do primeiro pelo segundo mais o primeiro pela derivada do segundo.
Então:
A derivada de
é 1, e a derivada de
usando a regra da cadeia é
. Substituindo:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Novamente, usamos a regra do produto para derivar
:
Já sabemos que
e
. Substituindo:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, queremos saber quando
. Vamos analisar cada fator na expressão
:
-
é sempre positivo, independente de . -
: este termo é positivo quando e negativo quando . -
: positivo quando e negativo quando .
Então, para
ser positivo, a multiplicação dos sinais desses fatores precisa resultar em positivo:
-
Caso 1:
-
-
quando , ou seja, - Então,
precisa estar em
-
-
Caso 2:
-
-
quando - Para que o produto seja positivo, precisamos que
e sejam ambos negativos, ou seja, - Mas isso contraria
, então não temos contribuições positivas nesse intervalo.
-
Passo 6
Juntando os casos, a função é convexa para
em
e para
. Portanto, a resposta correta é:
(b)
Resposta
A função
é convexa para
em
. Portanto, a resposta correta é a letra (b).
Exercícios relacionados
Seja
. Em qual intervalo
é crescente?
(A)
(
©
(D)
(E) NRA
(A)
(
©
(D)
(E) NRA
Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dados (caso tenha dificuladades, pode utilizar o software Geogebra).
(e) .
(e)
Calcule
(A)
©
(D)
(E)
(A)
©
(D)
(E)
Esboce as curvas de nível da função
para os valores
.