Para quais valores de x a função f(x) = x * e^(-x^2 / 2) é convexa (côncava para cima)?
(A) (-raiz(3), raiz(3))
( ( x )( -infinito, -raiz(3) ) u ( 0, raiz(3) )
© 0,1
(b) (-raiz(3), 0) U (raiz(3), +infinito)
(E) NRA

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de a função é convexa, ou seja, côncava para cima. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a saber se a função é côncava para cima (convexa) ou para baixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é convexa quando sua segunda derivada é positiva. Então, nosso objetivo aqui é calcular a segunda derivada de e encontrar os valores de para os quais essa derivada é maior que zero.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de . Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois termos multiplicados é a derivada do primeiro pelo segundo mais o primeiro pela derivada do segundo.
Então:
A derivada de é 1, e a derivada de usando a regra da cadeia é . Substituindo:
Podemos fatorar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Novamente, usamos a regra do produto para derivar :
Já sabemos que e . Substituindo:
Fatorando :

Passo 5

Agora, queremos saber quando . Vamos analisar cada fator na expressão :
  1. é sempre positivo, independente de .
  2. : este termo é positivo quando e negativo quando .
  3. : positivo quando e negativo quando .
Então, para ser positivo, a multiplicação dos sinais desses fatores precisa resultar em positivo:
  • Caso 1:
    • quando , ou seja,
    • Então, precisa estar em
  • Caso 2:
    • quando
    • Para que o produto seja positivo, precisamos que e sejam ambos negativos, ou seja,
    • Mas isso contraria , então não temos contribuições positivas nesse intervalo.

Passo 6

Juntando os casos, a função é convexa para em e para . Portanto, a resposta correta é:
(b)

Resposta

A função é convexa para em . Portanto, a resposta correta é a letra (b).

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( 0,2
© (e^(-1/2), infinito)
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(E) NRA
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© e^44
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