Seja f(x) = x^2 e^(-x). Em qual intervalo f(x) é crescente?
(A) (2, infinito)
( 0,2
© (e^(-1/2), infinito)
(D) (0, infinito)
(E) NRA

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta em qual intervalo a função é crescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de , que nos dirá onde a função está aumentando ou diminuindo. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em cada ponto.

Passo 3

A função é um produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usamos a regra da cadeia aqui).
Então, aplicando a Regra do Produto:

Passo 5

Para saber onde é crescente, precisamos encontrar onde . Sabemos que é sempre positivo, então a expressão que determina o sinal de é .

Passo 6

A inequação é satisfeita quando ambos os fatores têm sinais positivos:

Resposta

A função é crescente no intervalo . Portanto, a alternativa correta é a (B) .

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