Seja f(x) = x^2 e^(-x). Em qual intervalo f(x) é crescente?
(A) (2, infinito)
( 0,2
© (e^(-1/2), infinito)
(D) (0, infinito)
(E) NRA

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta em qual intervalo a função é crescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de , que nos dirá onde a função está aumentando ou diminuindo. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em cada ponto.

Passo 3

A função é um produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usamos a regra da cadeia aqui).
Então, aplicando a Regra do Produto:

Passo 5

Para saber onde é crescente, precisamos encontrar onde . Sabemos que é sempre positivo, então a expressão que determina o sinal de é .

Passo 6

A inequação é satisfeita quando ambos os fatores têm sinais positivos:

Resposta

A função é crescente no intervalo . Portanto, a alternativa correta é a (B) .

Exercícios relacionados

Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dados (caso tenha dificuladades, pode utilizar o software Geogebra).
(e) f(x, y) = 2*x^2 + 4*y^2 ; k = 2, 3, 4.
Sejam f, g diferenciáveis tais que
f(1)=2, f'(1)=3, f'(2)=-4, g(1)=2, g'(1)=-3, g'(2)=-4
Se h(x) = f(f(x)), então h'(1)
(A) 8
(B) -8
(2) -12
(D) 3
(E) NRA
Para quais valores de x a função f(x) = x * e^(-x^2 / 2) é convexa (côncava para cima)?
(A) (-raiz(3), raiz(3))
( ( x )( -infinito, -raiz(3) ) u ( 0, raiz(3) )
© 0,1
(b) (-raiz(3), 0) U (raiz(3), +infinito)
(E) NRA
Calcule integral0^1 xe^x^2 d x=
(A) 1e 14 e
© e^44
(D) 4e^1 / 4
(E) 4 e^1 / 4