Uma partícula está se movendo ao longo da parábola y^2 = 8 x e sua velocidade escalar é constante. Encontre cada um dos seguintes, quando a partícula está em 2,4; o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, A_T e AN.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma partícula movendo-se ao longo da parábola com velocidade escalar constante. Queremos, quando a partícula está no ponto :
  1. Vetor posição,
  2. Vetor velocidade,
  3. Vetor aceleração,
  4. Vetor tangente unitário,
  5. Vetor normal unitário,
  6. (Aceleração tangencial),
  7. (Aceleração normal).
Para resolver, precisamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, derivadas e propriedades do movimento em curvilíneo.

Passo 2

Vetor posição
O vetor posição de uma partícula no plano é dado pelas suas coordenadas . No ponto :

Passo 3

Vetor velocidade
A velocidade vetorial é a derivada do vetor posição em relação ao tempo . Primeiro, precisamos expressar e em função de .
Dada a parábola , podemos parametrizar . Mas como a velocidade é constante, vamos usar uma parametrização em termos de .
Assumindo que e são funções de , temos:
Como a velocidade escalar é constante, .
No ponto , substituindo :
Portanto:
Como a velocidade escalar é constante, podemos assumir , então:

Passo 4

Vetor aceleração
A aceleração vetorial é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como a velocidade escalar é constante, a magnitude de não muda, mas a direção pode mudar.
Como tem componentes e que podem variar com , mas a velocidade escalar é constante, a aceleração será sempre perpendicular à velocidade, ou seja, somente a aceleração normal está presente.

Passo 5

Vetor tangente unitário
O vetor tangente unitário é a direção da velocidade. É obtido normalizando o vetor velocidade.
Como :

Passo 6

Vetor normal unitário
O vetor normal unitário é perpendicular ao vetor tangente e aponta na direção da aceleração normal.

Passo 7

Aceleração tangencial
Como a velocidade escalar é constante, não há componente de aceleração na direção tangente.

Passo 8

Aceleração normal
A aceleração normal está relacionada à velocidade lenta e ao raio de curvatura :
Precisamos encontrar o raio de curvatura da parábola no ponto .
Para uma parábola , o raio de curvatura é .
Primeiro, derivamos a equação da parábola:
Derivando novamente:
No ponto :
Então:
Portanto:

Resposta

A solução completa para o ponto é:
  • Vetor posição:
  • Vetor velocidade:
  • Vetor aceleração:
  • Vetor tangente unitário:
  • Vetor normal unitário:
  • Aceleração tangencial :
  • Aceleração normal :

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