Uma partícula está se movendo ao longo da parábola
e sua velocidade escalar é constante. Encontre cada um dos seguintes, quando a partícula está em
; o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário,
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma partícula movendo-se ao longo da parábola
com velocidade escalar constante. Queremos, quando a partícula está no ponto
:
- Vetor posição,
- Vetor velocidade,
- Vetor aceleração,
- Vetor tangente unitário,
- Vetor normal unitário,
-
(Aceleração tangencial), -
(Aceleração normal).
Para resolver, precisamos usar conhecimentos de cálculo vetorial, derivadas e propriedades do movimento em curvilíneo.
Passo 2
Vetor posição
O vetor posição
de uma partícula no plano é dado pelas suas coordenadas
. No ponto
:
Passo 3
Vetor velocidade
A velocidade vetorial
é a derivada do vetor posição em relação ao tempo
. Primeiro, precisamos expressar
e
em função de
.
Dada a parábola
, podemos parametrizar
. Mas como a velocidade é constante, vamos usar uma parametrização em termos de
.
Assumindo que
e
são funções de
, temos:
Como a velocidade escalar é constante,
.
No ponto
, substituindo
:
Portanto:
Como a velocidade escalar é constante, podemos assumir
, então:
Passo 4
Vetor aceleração
A aceleração vetorial
é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como a velocidade escalar é constante, a magnitude de
não muda, mas a direção pode mudar.
Como
tem componentes
e
que podem variar com
, mas a velocidade escalar é constante, a aceleração será sempre perpendicular à velocidade, ou seja, somente a aceleração normal
está presente.
Passo 5
Vetor tangente unitário
O vetor tangente unitário
é a direção da velocidade. É obtido normalizando o vetor velocidade.
Como
:
Passo 6
Vetor normal unitário
O vetor normal unitário
é perpendicular ao vetor tangente
e aponta na direção da aceleração normal.
Passo 7
Aceleração tangencial
Como a velocidade escalar é constante, não há componente de aceleração na direção tangente.
Passo 8
Aceleração normal
A aceleração normal está relacionada à velocidade lenta e ao raio de curvatura
:
Precisamos encontrar o raio de curvatura da parábola
no ponto
.
Para uma parábola
, o raio de curvatura é
.
Primeiro, derivamos a equação da parábola:
Derivando novamente:
No ponto
:
Então:
Portanto:
Resposta
A solução completa para o ponto
é:
- Vetor posição:
- Vetor velocidade:
- Vetor aceleração:
- Vetor tangente unitário:
- Vetor normal unitário:
- Aceleração tangencial
: - Aceleração normal
:
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Dê um exemplo de duas funções
e
e de um número real
tais que
existe, mas
e
não existem.
Calcule
.