Calcule integral0^1[t i+e^t j] d t.

Passo 1

Vamos calcular a integral do campo vetorial integral0^1[t i+e^t j] d t. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integração de funções vetoriais em relação a uma variável escalar.

Passo 2

Primeiro, entendemos que podemos integrar cada componente do vetor separadamente. A função vetorial dada é F(t) = t i + e^t j. Então, a integral fica:
integral0^1 F(t) dt = integral0^1 t i , dt + integral0^1 e^t j , dt

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral0^1 t i , dt. A integral de t em relação a t é:
integral t , dt = 12t^2 + C
Avaliando de 0 a 1:
12(1)^2 - 12(0)^2 = 12
Portanto, a primeira componente do vetor integrado é 12 i.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: integral0^1 e^t j , dt. A integral de e^t em relação a t é:
integral e^t , dt = e^t + C
Avaliando de 0 a 1:
e^1 - e^0 = e - 1
Portanto, a segunda componente do vetor integrado é (e - 1) j.

Resposta

A integral resulta no vetor:
12 i + (e - 1) j

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