Sejam e . Calcule .

Passo 1

Nós temos as funções vetoriais e . O objetivo é calcular a integral de a do produto interno (ou produto escalar) dessas duas funções vetoriais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno de vetores e, em seguida, integrar a função resultante em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno . O produto interno de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às funções e :

Passo 3

Agora, precisamos integrar a expressão que obtivemos no passo anterior de a :
Vamos dividir essa integral em três partes para facilitar o cálculo:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integral de :
Avaliada de a :
  1. Integral de :
Avaliada de a :
  1. Integral de :
Avaliada de a :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das três integrais:

Resposta

A integral é igual a .

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Calcule .
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta. .
Sejam funções vetoriais e uma função real. Suponha que existam os limites de e quando . Mostre que .
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.