Sejam F(t)=t i+j+e^t k e G(t)=i+j+k. Calcule integral0^1lang<= F(t), G(t)rang<= d t.

Passo 1

Nós temos as funções vetoriais integral0^1 lang<= F(t), G(t) rang<= , dt e . O objetivo é calcular a integral de a do produto interno (ou produto escalar) dessas duas funções vetoriais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno de vetores e, em seguida, integrar a função resultante em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= A, B rang<= = Ax Bx + Ay By + Az Bz . O produto interno de dois vetores lang<= F(t), G(t) rang<= = (t)(1) + (1)(1) + (e^t)(1) = t + 1 + e^t e é dado por:
Aplicando isso às funções e :

Passo 3

Agora, precisamos integrar a expressão que obtivemos no passo anterior de integral0^1 (t + 1 + e^t) , dt a integral0^1 t , dt + integral0^1 1 , dt + integral0^1 e^t , dt :
Vamos dividir essa integral em três partes para facilitar o cálculo:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Integral de integral t , dt = t^22 :
t^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12
Avaliada de integral 1 , dt = t a t |0^1 = 1 - 0 = 1 :
integral e^t , dt = e^t
  1. Integral de e^t |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 :
Avaliada de a :
  1. Integral de :
Avaliada de a :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das três integrais:
12 + 1 + (e - 1) = 12 + e

Resposta

A integral é igual a .

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