Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar onde a função é contínua. Isso significa que a gente precisa achar todos os valores de onde cada parte dessa função funciona direitinho, sem “quebrar” ou dar problema. Para isso, vamos analisar cada componente da função separadamente e ver onde elas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função: . A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, precisamos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero.
Condição para :
Então, para existir, tem que ser pelo menos 1.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Novamente, a raiz quadrada precisa de um número não negativo dentro dela.
Condição para :
Então, para existir, tem que ser pelo menos -1.

Passo 4

A terceira componente é . A função exponencial é bem tranquila, ela está definida e é contínua para qualquer valor real de . Ou seja, não precisa se preocupar com restrições aqui.

Passo 5

Agora, para a função inteira ser contínua, todas as suas componentes precisam ser contínuas ao mesmo tempo. Então, a gente precisa encontrar os valores de que satisfazem todas as condições que encontramos.
Temos:
  • (da primeira componente)
  • (da segunda componente)
Para que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo, precisa ser maior ou igual a 1, porque esse é o limite mais restritivo.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de é todo tal que .

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Sejam funções vetoriais e uma função real. Suponha que existam os limites de e quando . Mostre que .
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Calcule .
Sejam e . Calcule .