Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar onde a função
é contínua. Isso significa que a gente precisa achar todos os valores de
onde cada parte dessa função funciona direitinho, sem “quebrar” ou dar problema. Para isso, vamos analisar cada componente da função separadamente e ver onde elas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função:
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, precisamos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero.
Condição para
:
Então, para
existir,
tem que ser pelo menos 1.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Novamente, a raiz quadrada precisa de um número não negativo dentro dela.
Condição para
:
Então, para
existir,
tem que ser pelo menos -1.
Passo 4
A terceira componente é
. A função exponencial é bem tranquila, ela está definida e é contínua para qualquer valor real de
. Ou seja, não precisa se preocupar com restrições aqui.
Passo 5
Agora, para a função inteira
ser contínua, todas as suas componentes precisam ser contínuas ao mesmo tempo. Então, a gente precisa encontrar os valores de
que satisfazem todas as condições que encontramos.
Temos:
-
(da primeira componente) -
(da segunda componente)
Para que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo,
precisa ser maior ou igual a 1, porque esse é o limite mais restritivo.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade de
é todo
tal que
.
Exercícios relacionados
Sejam
funções vetoriais e
uma função real. Suponha que existam os limites de
e
quando
. Mostre que
.
Sejam
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e
quando
. Mostre que
.
Calcule
.
Sejam
e
. Calcule
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