Sejam
funções vetoriais e
uma função real. Suponha que existam os limites de
e
quando
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas funções vetoriais
e
que vão de um conjunto
para
, e uma função real
. A gente sabe que as limites dessas funções existem quando
se aproxima de
. A missão aqui é mostrar que o limite do produto vetorial (ou cruzamento) de
e
é igual ao produto vetorial dos limites de
e
. Vamos usar conceitos de limites e operações com vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial (ou cruzamento) de dois vetores em
é uma operação que resulta em outro vetor perpendicular aos dois vetores originais. A propriedade que vamos usar aqui é a continuidade da operação de produto vetorial. Ou seja, se
e
são contínuas em
, então o produto vetorial
também é contínuo em
.
Passo 3
Como sabemos que
e
existem, podemos aplicar a propriedade da continuidade do produto vetorial. Isso significa que:
Isso mostra que o limite do produto vetorial é igual ao produto vetorial dos limites, como queríamos demonstrar.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Sejam
funções vetoriais e
uma função real. Suponha que existam os limites de
e
quando
. Mostre que
.
Sejam
, sent, 2
e
. Calcule
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta.
.
Calcule
.