Sejam F, G: A subset R R^n funções vetoriais e f: A R uma função real. Suponha que existam os limites de F(t), G(t) e f(t) quando t t0. Mostre que lim t t0 F(t) wed>= G(t)=lim t t0 F(t) wed>= lim t t0 G(t),(n=3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas funções vetoriais e que vão de um conjunto para , e uma função real . A gente sabe que as limites dessas funções existem quando se aproxima de . A missão aqui é mostrar que o limite do produto vetorial (ou cruzamento) de e é igual ao produto vetorial dos limites de e . Vamos usar conceitos de limites e operações com vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial (ou cruzamento) de dois vetores em é uma operação que resulta em outro vetor perpendicular aos dois vetores originais. A propriedade que vamos usar aqui é a continuidade da operação de produto vetorial. Ou seja, se e são contínuas em , então o produto vetorial também é contínuo em .

Passo 3

Como sabemos que limt t0 [ F(t) wed>= G(t) ] = ( limt t0 F(t) ) wed>= ( limt t0 G(t) ) e existem, podemos aplicar a propriedade da continuidade do produto vetorial. Isso significa que:
Isso mostra que o limite do produto vetorial é igual ao produto vetorial dos limites, como queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, .

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