Sejam funções vetoriais e uma função real. Suponha que existam os limites de e quando . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas funções vetoriais e que vão de um conjunto para , e uma função real . A gente sabe que as limites dessas funções existem quando se aproxima de . A missão aqui é mostrar que o limite do produto vetorial (ou cruzamento) de e é igual ao produto vetorial dos limites de e . Vamos usar conceitos de limites e operações com vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial (ou cruzamento) de dois vetores em é uma operação que resulta em outro vetor perpendicular aos dois vetores originais. A propriedade que vamos usar aqui é a continuidade da operação de produto vetorial. Ou seja, se e são contínuas em , então o produto vetorial também é contínuo em .

Passo 3

Como sabemos que e existem, podemos aplicar a propriedade da continuidade do produto vetorial. Isso significa que:
Isso mostra que o limite do produto vetorial é igual ao produto vetorial dos limites, como queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, .

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Sejam funções vetoriais e uma função real. Suponha que existam os limites de e quando . Mostre que .
Sejam , sent, 2 e . Calcule .
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta. .
Calcule .