Sejam F, G: A subset R R^n funções vetoriais e f: A R uma função real. Suponha que existam os limites de F(t), G(t) e f(t) quando t t0. Mostre que lim t t0[F(t)+G(t)]=lim t t0 F(t)+lim t t0 G(t).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, e , que vão de um conjunto nos números reais para . Também tem uma função real . O exercício quer que a gente mostre que o limite da soma das funções vetoriais é igual à soma dos limites delas. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções vetoriais e como somar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função vetorial. Dizemos que se cada componente de tende para a correspondente componente de quando se aproxima de .

Passo 3

Agora, consideramos a soma das funções vetoriais . Se tende para e tende para quando se aproxima de , então a soma deve tender para .

Passo 4

Vamos detalhar isso. Suponha que e . A soma será .

Passo 5

Cada componente tende para porque sabemos que e . E somando esses limites, temos .

Passo 6

Finalmente, juntando todas as componentes, concluímos que .

Resposta

Portanto, mostramos que:
limt to t0 [F(t) + G(t)] = limt to t0 F(t) + limt to t0 G(t)

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