Sejam
funções vetoriais e
uma função real. Suponha que existam os limites de
e
quando
. Mostre que
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais,
e
, que vão de um conjunto
nos números reais para
. Também tem uma função real
. O exercício quer que a gente mostre que o limite da soma das funções vetoriais é igual à soma dos limites delas. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções vetoriais e como somar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função vetorial. Dizemos que
se cada componente de
tende para a correspondente componente de
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, consideramos a soma das funções vetoriais
. Se
tende para
e
tende para
quando
se aproxima de
, então a soma
deve tender para
.
Passo 4
Vamos detalhar isso. Suponha que
e
. A soma
será
.
Passo 5
Cada componente
tende para
porque sabemos que
e
. E somando esses limites, temos
.
Passo 6
Finalmente, juntando todas as componentes, concluímos que
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcule
.
Calcule
.
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.