Calcule.
§ integral1^e ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 1 até . Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Então, vamos precisar lembrar como aplicar integração por partes para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos deixar e .

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 1x dx e v = integral dx = x e integrar integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx :
Então, temos:

Passo 4

Simplificando a integral que sobrou:
integral x cdot 1x dx = integral 1 , dx = x
Portanto, a expressão fica:
integral ln x , dx = x ln x - x + C
Onde é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites agora.

Passo 5

Vamos calcular de 1 até [ x ln x - x ]1^e = ( e ln e - e ) - ( 1 ln 1 - 1 ) :
( e cdot 1 - e ) - ( 0 - 1 ) = (e - e) - (-1) = 0 + 1 = 1
Sabemos que e , então:

Resposta

1

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