Calcule integral0^b sen^2(x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de sin^2(x) de 0 até b. Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar utilizar uma identidade trigonométrica que simplifica a expressão sin^2(x), facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que expressa sin^2(x) de uma forma mais fácil de integrar:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado do seno em uma combinação de funções que são mais simples de integrar.
Agora, substituímos sin^2(x) pela identidade na integral:
integral0^b sin^2(x) , dx = integral0^b 1 - cos(2x)2 , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
integral0^b 12 , dx - integral0^b cos(2x)2 , dx
Integrando cada termo separadamente:
  1. A integral de 12 em relação a x é 12x.
  2. A integral de cos(2x)2 em relação a x é sin(2x)4.
Então, a integral completa fica:
[12x - sin(2x)4]0^b
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração, de 0 a b:
(12b - sin(2b)4) - (12(0) - sin(0)4)
Simplificando:
b2 - sin(2b)4 - 0 + 0 = b2 - sin(2b)4

Resposta

integral0^b sin^2(x) , dx = b2 - sin(2b)4

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