Qual é a solução de integral ax^2-b x d x ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral ax^2-b x , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais onde o integrando é uma fração algébrica. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos x^2 - b x. Podemos fatorar esse polinômio:
x^2 - b x = x(x - b)
Agora, a integral fica:
integral ax(x - b) , dx

Passo 3

Agora, aplicamos a técnica de frações parciais. Queremos expressar ax(x - b) como:
Ax + Bx - b
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x - b) para eliminar os denominadores:
a = A(x - b) + Bx
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores específicos de x para facilitar:
  • Quando x = 0:
    a = A(0 - b) + B(0) Rightarrow a = -A b Rightarrow A = -ab
  • Quando x = b:
    a = A(b - b) + B b Rightarrow a = B b Rightarrow B = ab

Passo 5

Agora que encontramos A e B, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
ax(x - b) = -ab cdot 1x + ab cdot 1x - b
Então, a integral fica:
integral ( -ab cdot 1x + ab cdot 1x - b ) dx

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
-ab integral 1x , dx + ab integral 1x - b , dx
As integrais são conhecidas:
integral 1x , dx = ln|x| + C
integral 1x - b , dx = ln|x - b| + C
Portanto:
-ab ln|x| + ab ln|x - b| + C

Resposta

A solução da integral é:
integral ax^2-b x , dx = ab ln|x - bx| + C

Exercícios relacionados

Racionalizando (1 - raiz(2)) / (1 + raiz(2)), temos:
a) 2 * raiz(2) + 3
b) 2 * raiz(2) - 3
c) 1 + raiz(2)
d) 1 - raiz(2)
e) n.d.a
Racionalize os denominadores:
5/raiz(2)
Calcule integral0^b sen^2(x) d x
Qual é o valor de b que satisfaz
integral1^b x cos (x^2-1) d x=12 ?