Qual é a solução de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais racionais, ou seja, integrais onde o integrando é uma fração algébrica. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos
. Podemos fatorar esse polinômio:
Agora, a integral fica:
Passo 3
Agora, aplicamos a técnica de frações parciais. Queremos expressar
como:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores específicos de
para facilitar:
-
Quando
: -
Quando
:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
As integrais são conhecidas:
Portanto:
Resposta
A solução da integral é: